Des segments égaux dans un ennéagone

jelobreuil

Bonsoir à tous

Sauriez-vous expliquer pourquoi, dans un ennéagone régulier, les segments indiqués ci-dessous sont égaux ?
J et K sont les milieux des côtés AI et IH, L est le point d'intersection de la diagonale AF et du demi-cercle AI de centre J, M est le point d'intersection des diagonales AF et BI, et N est le point d'intersection de la demi-droite BL et du côté HI.
Je constate que les longueurs des segments NK et ML sont égales, de même que celles des segments AM et IN.
Étant donné que le triangle ALJ est équilatéral (il est isocèle, d'angle au sommet J, et l'angle A vaut 60°), la triple égalité AL = AJ = IK fait qu'il suffit de montrer l'une ou l'autre des deux égalités, AM = IN ou ML = NK. Mais laquelle, et comment ?

Merci de votre intérêt pour cette petite chose ...
Bien cordialement, JLB

gipsyc

Pas vraiment une preuve, juste une rotation entre deux triangles équilatéraux, illustrée pour les points N et M.

Cordialement,
Jean-Pol

jelobreuil

Merci, Jean-Pol, si ce n'est pas une preuve, en tout cas, c'est une piste sérieuse !

Et c'est le genre de choses qu'il m'est difficile d'imaginer ...

Bien cordialement, JLB

gipsyc

Bonjour Jean-Louis

Pas beaucoup de réponses à ton problème sur les forums que je fréquente.

Juste Stanley Rabinowitz qui signale le petit triangle équilatéral AJL (que j'avais caché dans la question).
Je n'ai pas beaucoup plus de succès avec mon octogone régulier et le cercle d'Euler.

Jean-Pol 

gipsyc

Bonjour Jean-Louis
L'énigme a inspiré Stanley Rabinowitz

jelobreuil

Bonne nuit à tous,

Voici, pour la question posée, la solution que je soumets à votre jugement ...

                          

Bien cordialement, JLB

jelobreuil

Jean-Pol, voici pour l'énigme de S. Rabinowitz ... c'était moins compliqué que la mienne !

Bien amicalement, Jean-Louis

gipsyc

Bonjour Jean-Louis
Une chasse d'angles donnée par Zodyak Selahattin, que je te présente telle qu'il l'a postée, sans commentaires.

Belle journée,
Jean-Pol

jelobreuil

Bonjour Jean-Pol
Merci de m'avoir communiqué cette solution par chasse aux angles ! Peux-tu en remercier son auteur pour moi ? Je vais l'étudier de près !
Bonne journée, bien cordialement, Jean-Louis

gipsyc

Bonjour Jean-Louis,

Juste un petit commentaire apparu par après : le point C est construit de telle sorte que le triangle CIA soit équilatéral ... ce que montre bien le dessin.

jelobreuil

Bonjour Jean-Pol,

Ce point C n'est pas autre chose que le point P de la figure donnée avec ma solution ...

Bien cordialement, Jean-Louis