Théorie des ensembles

aef

Merci de m’expliquer ce qui ne va pas dans ce raisonnement

Je construis une application f des parties de N vers [0,1[ qui
pour chaque {n1,n2,….,ni}  appartenant P(N) j’associe un
k=n1n2...ni concaténation en terme informatique mais qu’on peut écrire mathématiquement :
k=n1x10 puissance -nb(n1) + n2x10 puissance -nb(n1)-nb(n2) + … + ni x 10  puissance -nb(n1)-nb(n2)-…-nb(ni)
nb : nombre de chiffre 
Pour tout k appartenant à [0,1[, on a un E appartenant à P(N) tel que f(E)=k
Mais il existe des E1, E2 tq f(E1)=f(E2)=k avec E1#E2
exemple {1,12} et {11,2}.

Donc une partie de P(N) permet de constituer tout le [0,1[

Donc card(P(N)) > card([0,1[) par conséquent card(P(N)) > card(R).
Merci.

Bibix

Bonjour,

quel est le $E$ tel que $f(E) = \frac{1}{3}$ ?

Quel est le rapport avec les catégories ?

Médiat_Suprème

Vous avez démontré que card(P(N)) >= card(R)

bisam

Je veux bien pardonner quelques soucis d'écriture, mais je ne vois pas en quoi cette application $f$ arriverait dans $[0,1[$.
Pour moi, elle arrive dans $\N$...

Et je n'ai pas bien compris quoi faire si la partie $A$ de $\N$ que l'on considère est une partie infinie.
À vrai dire, je n'ai pas bien compris non plus dans quel ordre on est censé placer les nombres qui sont dans cette partie $A$ pour former $f(A)$.

Bref, rien n'est correctement défini, donc on ne risque pas d'avoir une conclusion.

Médiat_Suprème

La fonction $f$, envoie $\{2, 3, 15\}$ sur $0.2315$, ce qui est une horrible définition, et invalide le contre-exemple donné par le primo-posteur

bisam

Pourquoi sur $0.2315$ et pas $0.3215$ ou $0.1523$ ? Comment sais-tu dans quel ordre les mettre ?

Et si je choisis $A=2\N$ que vaut $f(A)$ ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

Ce n'est pourtant pas compliqué : chaque partie de $\mathbb N$ peut être ordonnée par l'ordre naturel sur $\mathbb N$, et on met ces entiers bout à bout pour obtenir le développement décimal (peut être impropre) d'un réel dans $[0,1]$. Tout réel de $[0,1]$ est atteint, ce qui montre comme l'a déjà écrit Mediat que le cardinal de $\mathcal P(\mathbb N)$ est supérieur OU ÉGAL à celui de $[0,1]$.

$f(2\mathbb N)=\{0,0246810121416182022\ldots$. Où est le problème ?

Bibix

Défini comme ça, il n'y a aucun problème (bien que ce soit un poil compliqué). Par contre, est-ce bien ce que voulait dire l'auteur du post ?
Parce-que dans ce cas, $f(\{1, 12\}) \neq f(\{11,2\})$...

bisam

Comment obtient-on $0,001$ dans ce cas ? ou toute valeur dans $\left]0, {10}^{-2}\right[$ ?

Si on procède tel que @GaBuZoMeu l'a décrit, la fonction $f$ est loin d'être surjective sur $[0,1]$.

GaBuZoMeu

Ah oui, il y a un os avec les zéros du début pour la surjectivité. Pas grave, on arrive surjectivement sur $\{0\}\cup [0.01, 1]$ .

Et $f(\{1,12\})=f(\{11,20\})$.

aef

f({1,12})=0,112.    f({11,2})=0,112 donc seule une partie de 
P(N) parcourt tout [0,1[ donc Card(PN) est strictement supérieur à Card([0,1[)
Pour l’ordre, c’est bien défini dans l’hypothèse.

Médiat_Suprème

Cela ne marche pas pour au moins 2 raisons :

1. vous devez choisir un ordre pour les parties de N, pour créer un unique réel puisque f({11,2})=f({2, 11}), la proposition de GaBuZoMeu est la plus naturelle
2. les raisonnements sur les ensembles finis ne fonctionnent généralement pas sur les ensembles infinis, et, au mieux, vous avez démontré "supérieur ou égal"

Bibix

Ben non, ce n'est pas bien défini justement, et même avec la définition correcte de GBZM, on ne parcourt pas tout $[0,1[$. D'ailleurs, on a aussi $f(\{11, 2\}) = 0.211$.

GaBuZoMeu

aef, il ne faudrait pas raconter n'importe quoi ! Tu devrais lire et réfléchir aux réponses qui t'ont été faites.

$\{11,2\}=\{2,11\}$ donc $f(\{11,2\})=f(\{2,11\})$

Et ce n'est pas parce qu'on a une surjection de $A$ sur $B$ que le cardinal de $A$ est strictement plus grand que celui de $B$, même si chaque élément de $B$ a une infinité d'antécédents.

Exemple : soit $f$ l'application de $\mathbb N$ sur lui-même définie par $f(0)=0$ et $f(2^n(2k+1))=n$. L'application $f$ est surjective et tout élément de $\mathbb N$ a même une infinité d'antécédents. Est-ce que le cardinal de $\mathbb N$ est strictement plus grand que lui-même ?

aef

Pour la question de existe il un E tq
  f(E)=1/3 je pose la question qui est un peu philosophique
c’est quoi d’abord 1/3?
pardonnez moi je suis plutôt informaticien logisticien.
1/3 n’est qu’une écriture dans un langage.
Mais f aboutit à tout [0,1[, 
Est ce que 1/3 peut s’écrire sous la forme 0,n1n2….aussi infini qu’elle soit si oui on a la réponse sinon problème, dans ce cas appartiennent elle à [0,1[?

GaBuZoMeu

Essaie de LIRE et COMPRENDRE ce qu'on t'écrit.

Pour $f(E)=1/3$, n'importe quel ensemble infini d'entiers qui n'ont que des 3 dans leur écriture décimale convient.

aef

Soit f une application de R vers [0,1[

f(r1)=0,a1a2……an. avec ai appartenant à N
f(r2)=0,b1b2….bn

f(rn)=0,w1w2….wn
par souci de ne pas pouvoir écrire des indices haut et bas
on s’arrête à w

On peut dire que si on prend un 0,z1z2…..zn
tq z1#a1 z2#b2  …. Qu’il n’existe pas de r
tq f(r)=0,z1z2….zn et puisqu’il existe des injections de R 
vers [0,1[ donc
    Card(R) < Card([0,1[). 

Comme pour la démonstration de
    Card(N) < Card([0,1[) par la diagonale de Cantor 

est ce que la diagonale de Cantor n’est pas valable dans cas?

Médiat_Suprème

Non
Beware the flood troll.

GaBuZoMeu

pardonnez moi je suis plutôt informaticien logisticien.

Ce n'est pas sympa pour les informaticiens logisticiens de donner une aussi piètre image de leur profession.

aef

Pourquoi c’est pas valable?

aef

 Il y’a un ordre dans la construction.
f({1,12})=0,112 et f({12,1})=0,121. C’est différent.

Je n’ai pas dit que parce que l’application est surjective que card(P(N)) < card([0,1[) ce que j’ai dit c’est que si on utilise qu’une partie de P(N) dont le nombre est strictement inférieur à P(N) pour construire tout [0,1[, c’est que card(P(N)) est strictement supérieur à card([0,1[).
Ça me paraît logique quand une application construit un ensemble.
Il ne faut pas oublier que c’est une application qui construit [0,1[, ce n’est pas n’importe quelle application !

JLapin

Tu sembles penser que $card \N > card \N^*$ puisqu'on obtient le second en enlevant un point au premier.

Médiat_Suprème

aef a dit :

Ça me paraît logique 

La source de la majorité des erreurs en théorie des ensembles (et dans ce cas particulier, on vous a signalé l'erreur au moins trois fois !)

Voir Prolégomènes à toute tentative future de définition du « nombre d’éléments » d’un ensemble. (futura-sciences.com) par exemple.

aef

 f({0,0,1}=)0,001 
les commentaires sans justificatifs sont inutiles, argumentez s’il vous plaît.

aef

Avez-vous une application qui construit N* à partir de N ?
Dans ce cas, si oui ça démontre que j’ai tort.
Mais pas une application qui associe, il me semble qu’il y a quelque part une différence.

Médiat_Suprème

$n \to n+1$

aef

C’est une association, ce n’est pas une construction.
Quand on construit Q à partir de ZxZ* on utilise
tout ZxZ* pour arriver à construire Q.
plus tard c’est la définition de l’égalité p/q=r/t qui
peut réduire l’ensemble de départ.
Et ça c’est une priorité supplémentaire qu’on définit sur Q.
C’est pour ça qu’on a les mêmes cardinaux.

Médiat_Suprème

Bon courage à ceux qui voudront faire progresser aef, moi j'abandonne, hésitant entre mauvaise foi et totale incompétence.

aef

Pardon, votre application n —> n+1 construit bien N* à partir de N.
Elle joue en ma faveur, elle est surjective et vous avez besoin de tout N pour construire N* , c’est pour ça que N et N* ont le même cardinal.
Pour mon exemple je n’utilise qu’une partie de P(N) d’où ma conclusion.

aef

Et même dans Q c’est parce qu’on ne sait pas quoi faire des éléments p/0 qu’on les enlève sans les aménager et qu’on enlève dès le départ.

Dom

Quelqu’un a-t-il proposé la suite $\{9,99,999,etc.\}$ ?
Ça donne un problème de surjectivité si on laisse $[0;1[$. Puisqu’on pédale dans la semoule, ça me paraît opportun. 

GaBuZoMeu

@Dom : relis https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2410208/#Comment_2410208 .

@aef :  relis

GaBuZoMeu a dit :

Exemple : soit $f$ l'application de $\mathbb N$ sur lui-même définie par $f(0)=0$ et $f(2^n(2k+1))=n$. L'application $f$ est surjective et tout élément de $\mathbb N$ a même une infinité d'antécédents. Est-ce que le cardinal de $\mathbb N$ est strictement plus grand que lui-même ?

On n'utilise qu'une toute petite partie de $\mathbb N$ pour "construire" $\mathbb N$ : il suffit des puissances de $2$. Donc, à t'en croire, le cardinal de $\mathbb N$ est strictement plus petit que celui de $\mathbb N$.

Bibix

$\mathbb{N} \setminus \{0\} = \mathbb{N}^*$ donc $\mathbb{N}$ a exactement un élément de plus que $\mathbb{N}^*$. Cependant, ${\rm Card}(\mathbb{N}) = {\rm Card}(\mathbb{N}^*)$ par la bijection $n \longmapsto n+1$.

aef

Démonstration de card(N) < card([0,1[) sans la diagonale de Cantor, ça a un rapport avec 
P(N)

soit une application constructrice de [0,1[ qui pour chaque n j’associe et je construit:
l’element 0,n
f(n)=0,n
Je vais démonter qu’elle n’est pas injective mais en réfléchissant plus
profondements sur les éléments, en math on a tendance à éliminer les éléments 
gênants probablement par qu’on a d’autres soucis à résoudre.

l’element 0,001 a comme antécédent 001 or d’après mois 001 n’appartient pas à N,
c’est une suite de chiffre sans signification, n’oublions pas que N est l’ensemble 
des entiers naturels, il y’a le mot naturel, quelqu’un qui vous dit j’ai 04 arbres dans mon 
jardin, vous le prenez pour qui..
Je ne pense pas que la théorie qui construit N par succession peut aboutir à des éléments 
comme 001  000001 ….
Donc 0,001 qui a bien une bonne signification dans [0,1[ n’a pas d’antécédent dans
N.    

Maintenant supposons que 001 appartient à N on a
1=01=001…
Quand on va comptabiliser N pour savoir son cardinal
on va compter un seul élément pour 1 01 001 …
puisque 1=01=001
Donc avec un seul élément 1 je peux construire plusieurs éléments 
dans [0,1[ et qui sont différents.
Donc [0,1[ est plus fournis en éléments que N.
Donc card(N) < card([0,1[).

C’est le même principe que pour P(N) puisque je peux utliser
 qu’une partie de P(N) pour construire [0,1[ 
card (P(N)) > card([0,1[)

Médiat_Suprème

Comme d'habitude, démonstration de

1. Votre totale méconnaissance du sujet
2. Votre refus de comprendre que les ensembles infinis ne se traitent pas comme les ensembles finis
3. Votre manie de confondre principe d'Aristote et principe d'Aristote fort.
4. Votre refus de lire les réponses qui vous ont été faites

JLapin

aef a dit :

C’est le même principe que pour P(N) puisque je peux utliser

 qu’une partie de P(N) pour construire [0,1[ 
card (P(N)) > card([0,1[)

Et comme on peut construire $\Z$ avec simplement une partie de $\N$, on a $card \N > card \Z$...

Ce topic devrait basculer dans Shtam dans peu de temps.

GaBuZoMeu

Le fermer, tout simplement.

aef

Comment on peut construire Z avec une partie de N?

aef

Je ne comprends pas ton application, elle part de quel ensemble pour construire quel ensemble ?

aef

Mathbb !!!!
ensemble des depart?
ensemble d’arrivée ?
l’application sur l’élément de départ ?

aef

Pour la question sur {9,99,999,…} appliquez la définition donnée 
dans l’hypothèse 

JLapin

Il existe une bjection de $\N^*$ vers $\Z$. Avec ton raisonnement, on en déduirait que $card N > card Z$.

Médiat_Suprème

Théorie des ensembles — Les-mathematiques.net

aef

Prenons l’application f qui construit N à partir de Npair.
f(n)=k tq n=2k. Elles ont le même cardinal.
Cette application n’est pas définie sur Nimpair puisque il
n’existe aucun k tq nimpair =2k.
On peut pas donner ça comme un comptre exemple et
dire qu’on construit N à partir d’une partie de N et qu’on a le même 
cardinal car l’application n’est pas définie sur Nimpair.

Ce n’est pas le cas de mon application qui est définie 
sur tout P(N).

Pour donner un contre exemple il faut que l’application soit
définie sur tout l’ensemble et qu’on utilise qu’une partie 
alors que les cardinaux sont égaux.

GaBuZoMeu

Visiblement aef ne sait pas lire : 

Soit f l'application de N sur lui-même définie par f(0)=0 et f((2k+1)*2^n)=n. (Autrement dit l'image d'un entier >0 est l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise cet entier). L'application f est surjective et tout élément de N a même une infinité d'antécédents. De fait on n'utilise qu'une toute petite partie de N pour "construire" N : il suffit des puissances de 2. Donc, selon aef, le cardinal de N est strictement plus petit que celui de N.

Si on arrêtait là ?

aef

Vous utilisez que les puissances de 2, l’application n’est pas définie sur 
sur les impairs.
Donc ce n’est pas un contre-exemple.
Pour cela, il faut que l’application soit définie pour tout x appartenant à l’ensemble et qu’on utilise qu’une partie de cette ensemble pour 
générer un autre.
Par manque d’argumentations je vais arrêter la discussion.

raoul.S

aef a dit :

Vous utilisez que les puissances de 2, l’application n’est pas définie sur impairs.

L'application de GaBuZoMeu ci-dessus est bien définie sur les impairs. Elle envoie tous les impairs sur 0. Il faut bien lire...

aef

Il n’y pas besoin des impairs pour générer 0, c’est une construction artificielle 

Dom

Qu’est-ce qu’une construction artificielle ? Qu’est-ce qu’une construction non artificielle ?

aef

Vous construisez N avec 2N U {1} c’est tout

JLapin

Tu ne comprends même pas qu'une fonction a le droit d'être définie par morceaux. C'est grave.