Matrice de passage

Homo Topi

J'ai un problème avec la manière dont on définit/enseigne le concept de matrice de passage. Je m'explique.

Mes notations sont très basiques : $\text{Mat}_{\mathcal{B}}[x]$ désigne la matrice d'un vecteur $x$ dans une base $\mathcal{B}$. Pour une famille de vecteurs $F=(f_1,...f_m)$, $\text{Mat}_{\mathcal{B}}[F]$ désigne la matrice dont la $k$-ième colonne est $\text{Mat}_{\mathcal{B}}[f_k]$.

On est dans une "ancienne base" $\mathcal{A}:=(\mathrm{a}_1,...,\mathrm{a}_d)$ et on veut changer vers une "nouvelle base" $\mathcal{N}:=(\mathrm{n}_1,...,\mathrm{n}_d)$. Puisqu'on travaille dans $\mathcal{A}$, la détermination de la nouvelle base $\mathcal{N}$ se fait via des calculs dans $\mathcal{A}$ (cf. réduction d'endomorphisme) : l'information dont on dispose naturellement est donc l'expression des vecteurs de $\mathcal{N}$ dans la base $\mathcal{A}$ : $\mathrm{n}_k = t_{1,k}\mathrm{a}_1+...+t_{d,k}\mathrm{a}_d$ pour tout $k$. Autrement dit, on dispose en premier de la matrice $\text{Mat}_{\mathcal{A}}[\mathcal{N}] := \begin{pmatrix} t_{1,1} & \dots & t_{1,d} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{d,1} & \dots & t_{d,d}  \end{pmatrix}$ dont la $k$-ième colonne est celle des coordonnées de $\mathrm{n}_k$ dans $\mathcal{A}$.

C'est $\text{Mat}_{\mathcal{A}}[\mathcal{N}]$ qui est traditionnellement appelée la "matrice de passage de $\mathcal{A}$ vers $\mathcal{N}$".

Avec cette convention-là, on obtient deux choses :

1) Les coordonnées dans l'ancienne base s'obtiennent à partir des coordonnées dans la nouvelle base en multipliant par la matrice de passage de l'ancienne base vers la nouvelle base.

2) Tout bouquin d'algèbre linéaire contient un avertissement du style "attention à ne pas faire les choses dans le mauvais sens !!!"

Soit $x := x_1\mathrm{a}_1+...+x_d\mathrm{a}_d$, c'est-à-dire $\text{Mat}_{\mathcal{A}}[x] = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d\end{pmatrix}$. On cherche les coordonnées de $x$ dans $\mathcal{N}$, c'est-à-dire $\text{Mat}_{\mathcal{N}}[x]$. Pour cela, il faut savoir exprimer les vecteurs de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{N}$ (il suffit d'inverser $\text{Mat}_{\mathcal{A}}[\mathcal{N}]$ pour obtenir $\text{Mat}_{\mathcal{N}}[\mathcal{A}]$).

Supposons qu'on ait $\mathrm{a}_k = u_{1,k}\mathrm{n}_1+...u_{d,k}\mathrm{n}_d$ pour tout $k$, c'est-à-dire $\text{Mat}_{\mathcal{N}}[\mathcal{A}] = \begin{pmatrix} u_{1,1} & \dots & u_{1,d} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{d,1} & \dots & u_{d,d}  \end{pmatrix}$. On a alors :

$x=x_1(u_{1,1}\mathrm{n}_1+...+u_{d,1}\mathrm{n}_d)+...+x_d(u_{1,d}\mathrm{n}_1+...+u_{d,d}\mathrm{n}_d)=(x_1u_{1,1}+...+x_du_{1,d})\mathrm{n}_1+...+(x_1u_{d,1}+...+x_du_{d,d})\mathrm{n}_d$

Donc $\text{Mat}_{\mathcal{N}}[x] = \begin{pmatrix} x_1u_{1,1}+...+x_du_{1,d} \\ \vdots \\ x_1u_{d,1}+...+x_du_{d,d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{1,1} & \dots & u_{1,d} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{d,1} & \dots & u_{d,d}  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d\end{pmatrix}$, soit : $\boxed{\text{Mat}_{\mathcal{N}}[x] = \text{Mat}_{\mathcal{N}}[\mathcal{A}] \times \text{Mat}_{\mathcal{A}}[x]}$.

Dit en français : on "passe" des coordonnées dans $\mathcal{A}$ à celles dans $\mathcal{N}$ en les multipliant (à gauche) par la matrice $\text{Mat}_{\mathcal{N}}[\mathcal{A}]$ qui exprime les vecteurs de la base $\mathcal{A}$ dans la base $\mathcal{N}$. Ne serait-il donc pas plus logique/pédagogique de nommer "matrice de passage de la base $\mathcal{A}$ à la base $\mathcal{N}$" la matrice $\text{Mat}_{\mathcal{N}}[\mathcal{A}]$ qui exprime les vecteurs de la base $\mathcal{A}$ dans la base $\mathcal{N}$ ?

EDIT : notations des coefficients rectifiées pour avoir des matrices dont les coefficients correspondent à l'usage.

JLapin

Tu as la fameuse formule $X' = P^{-1} X$ qui pose tant de problème aux étudiants mais tu as aussi la formule de changement de base pour les endomorphismes $Mat_{B'}(u)=Mat_{B'}(B) Mat_B(u) Mat_{B}(B')$ est assez agréable à écrire.

D'ailleurs, cette formule $X' = P^{-1}X$, si on l'écrit $Mat_{B'}(x) = Mat_{B'}(B)Mat_B(x)$, ne pose finalement aucun problème de lecture.

Je suis donc favorable à la notation et à la définition actuelle.

nicolas.patrois

Je comprends la formule comme si on faisait passer des trucs dans des tuyaux.

Dans la formule $Mat_{B'}(u)=Mat_{B'}(B) Mat_B(u) Mat_{B}(B')$, on a tout à droite à faire passer un vecteur exprimé dans $B'$, donc $Mat_{B}(B')$ est constituée de vecteurs de $B'$ (en général la base canonique), exprimés en fonction de ceux de $B$ (le plus souvent une base sympathique pour $u$). Puis on suit le tuyau de la droite vers la gauche.

JavierT

Bonjour,

A mes étudiants, je fais apprendre la formule suivante : "les anciennes coordonnées = la matrices de passage x les nouvelles coordonnées"

Et la matrice de passage est la matrice des nouveaux vecteurs exprimés dans l’ancienne base. Et donc elle est très facile à écrire, car on te donnera toujours ces nouveaux vecteurs par leurs coordonnées dans l'ancienne base (canonique d’ailleurs quasiment tout le temps)

Ensuite, pour un changement de bases pour une application linéaire, la formule est $A'=Q^{-1) A P$  où $P$ est la matrice de passage dans l'espace de départ, et $Q$ la matrice de passage dans l'espace d'arrivée, $A$ la matrice relativement aux 2 bases de départ, et $A'$ par rapport aux 2 nouvelles bases.

Et ceci est parfaitement clair et efficace avec mes étudiants

@Homo Topi tes matrices sont mal écrites : le premier indice est l'indice de ligne et le second, c'est l'indice de colonne

Homo Topi

@JLapin justement. Quand tu écris $Mat_{B'}(x)=Mat_{B'}(B)Mat_B(x)$ avec cette notation explicitant qui est la matrice de quoi dans quelle base, c'est bien clair : on passe des anciennes coordonnées aux nouvelles en multipliant par $Mat_{B'}(B)$. Donc pourquoi dit-on que c'est $Mat_{B'}(B)^{-1}$ qui est la matrice passage de l'ancienne base vers la nouvelle ? On aurait $X'=QX$ avec $Q=Mat_{B'}(B)$ qui serait la matrice de passage de $B$ vers $B'$.

Pour les endomorphismes, changer de notation ne fait pas une grande différence. Quand on diagonalise, par exemple, on a l'habitude de $D=P^{-1}MP$ avec $P=Mat_{B}(B')$ la matrice de passage, ça deviendrait $D=QMQ^{-1}$ avec $Q=Mat_{B'}(B)$ la matrice de passage.

Pour calculer $u(x)$ dans la "nouvelle" base de vecteurs propres, on calcule $DX'$. Avec ma version des choses, le changement de base s'écrit $DX'=QMQ^{-1}X'=Q(MX)$. Ce que ça raconte, c'est : calculer $u(x)$ dans les anciennes coordonnées (donc calculer $MX$) puis faire le changement de base (en multipliant par la matrice de changement de base $Q$), c'est la même chose que de calculer $u(x)$ dans la nouvelle base. Ça revient sensiblement au même que $DX'=P^{-1}MPX'=P^{-1}(MX)$, sauf sans le $^{-1}$ qui ne fait qu'alourdir la formule en plus d'être, encore une fois et à mon humble avis, pédagogiquement moins logique(/efficace/utile/bon).

L'intérêt d'en choisir une parmi $Mat_{B'}(B)$ et $Mat_{B}(B')$, de l'appeler "matrice de passage de $B$ vers $B'$" et de la noter avec ou sans un $^{-1}$, c'est uniquement pour avoir une formule plus compacte que $Mat_{B'}(x)=Mat_{B'}(B)Mat_B(x)$, qui elle reste parfaitement claire.

Homo Topi

@JavierT par rapport à mon choix de notation $(k,l)$ en indices, c'est à l'envers par rapport aux gens qui font attention, mais mes notations restent au moins cohérentes entre elles . EDIT : j'ai rectifié.

Je ne suis pas d'accord avec toi. Certes, nous apprenons tous les choses comme tu les as présentées, mais pour moi le problème est dans le nom. Le nom complet de "la matrice de passage" que je trouve partout est "matrice de passage de l'ancienne base vers la nouvelle base". Et pour moi ça ne fait aucun sens que la matrice "ancienne vers nouvelle" est celle par laquelle on multiplie les nouvelles coordonnées pour retrouver les anciennes. Si on applique (multiplie par) une matrice qui transforme l'ancien en nouveau, il faudrait que ce soient les anciennes coordonnées qu'on multiplie par la matrice de passage pour obtenir les nouvelles coordonnées. Tu ne trouverais pas ça plus logique, toi ?

Thierry Poma

@Homo Topi : bonsoir. Que penser du morphisme identité ?

Homo Topi

Ajout pour @JavierT : si tu fais (faire à tes élèves) un exercice de diagonalisation, et que tu aboutis à une matrice diagonale $D$ ainsi qu'à la matrice de passage $P$ constituée des vecteurs propres écrits dans la base canonique. Alors, certes, tu as fini l'exercice de diagonalisation, mais ça sert à quoi de diagonaliser ? Ben, à faire des calculs matriciels plus simples. Si je te donne un vecteur $x$ quelconque, typiquement par sa matrice $X$ dans la base canonique, et que je te demande d'exprimer $u(x)$ dans la base de diagonalisation, tu dois bien calculer d'abord $X':=P^{-1}X$ pour pouvoir calculer $DX'$, sinon ça n'a servi à rien de diagonaliser : la seule option qui reste est de calculer $MX$ puis de multiplier par $P$, on a diagonalisé $M$ en la matrice plus pratique $D$ pour ne finalement pas nous en servir.

Donc le calcul de $P^{-1}$, dans la pratique, on n'y échappe pas. Peu importe si tu mets un $^{-1}$ sur la matrice "très facile à écrire" des nouveaux vecteurs dans l'ancienne base ou pas, il faut l'autre matrice. Et quitte à avoir les deux, j'ai expliqué où je trouvais plus naturel de mettre le $^{-1}$.

Homo Topi

@Thierry Poma je ne comprends pas ta remarque.

Homo Topi

@nicolas.patrois je l'ai dit dans tous mes autres messages donc je risque d'être redondant, mais tu as quand même le droit que je te réponde directement : les notations "explicites" $Mat_{base}(machin)$ ne posent aucun problème et sont parfaitement claires, ça je n'en disconviens à aucun moment. C'est par rapport au choix de laquelle parmi $Mat_B(B')$ et $Mat_{B'}(B)$ on appelle "la matrice de passage de $B$ vers $B'$" que je trouve le choix usuel illogique. Je sais que dans l'absolu ça ne change qu'un $^{-1}$ dans les formules, mais c'est quelque chose qui m'a toujours embrouillé. Inutilement, juste parce que le choix est illogique. Je peux apprendre par coeur de me rappeler que c'est illogique, j'ai toujours fait comme ça, mais ça ne change pas le fait que la dénomination est illogique et les calculs ne correspondent pas à l'intuition alors qu'ils pourraient, si on faisait l'autre choix.

Sato

Il n'est pas normal d'utiliser en mathématiques un nom peu naturel qui incite à apprendre par cœur. D'ailleurs, ce n'est pas parce qu'on le trouve repris dans quelques livres imprimés français du moment et dans des cours de fac qu'il faut en faire un standard international et immuable.

Math Coss

Je suppose que @Thierry Poma faisait référence au fait que la matrice de passage est celle de l'identité dans les bases (nouvelle, ancienne), vu qu'on écrit les colonnes de coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne. Autrement dit il y a une inversion quelque part.

Au fond, cette inversion vient du fait que la convention pour $f\circ g$ est mauvaise : on applique d'abord $g$, puis $f$, c'est tordu. Si on écrivait les applications à droite, on verrait d'où on part (de $x$) et le chemin emprunté ($f$) ensuite ; ainsi la composition suivrait l'ordre de lecture. En algèbre linéaire, si on écrivait les vecteurs en lignes (et donc les formes linéaires en colonnes), si on calculait $XA$ plutôt que $AX$ pour l'image du vecteur donc la ligne des coordonnées est $X$ par l'application linéaire dont la matrice est $A$, cela pour trouver la ligne des coordonnées de $(x)f$ ou, en notation à la POO, $x\cdot f()$, etc., beaucoup de choses rentreraient dans l'ordre. (pour ce genre de choses, la théorie des modules à droites est plus agréable que celle plus habituelle des modules à gauche ; cf. l'algèbre d'un carquois.)

Pomme de terre

@Homo Topi, effectivement la terminologie est un peu perturbante. Mais ça fonctionne très bien en termes d'équations linéaires : dans $\mathbb R^3$ par exemple, un plan d'équation $ax + by + cz = 0$ dans une base $\mathscr B = (e_1,e_2,e_3)$ aura pour équation $a' x' + b' y' + c' z' = 0$ dans une base $\mathscr B' = (e'_1,e'_2,e'_3)$. Les coefficients s'obtiennent par :

$$\begin{pmatrix}a' & b' & c'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}\times P,$$ où $P$ est la matrice de passage de $\mathscr B$ à $\mathscr B'$.

De même pour une conique, on multiplie la matrice de la forme quadratique par $P^\top$ à gauche et $P$ à droite.
J'imagine que ce point de vue était naturel pour les anciens. En tout cas, j'ai lu cette explication dans un vieux manuel.

JLapin

@Homo Topi

Je suis personnellement à la fois content que la matrice des coordonnées des vecteurs de $B'$ dans la base $B$ s'appelle la matrice de passage de $B$ à $B'$ et qu'on dispose de la formule $Mat_{B'}(x) = Mat_{B'}(B)Mat_B(x)$ (sorte de relation de Chasles) qui s'écrit ensuite $X'=P^{-1} X$ avec $P=Mat_B(B')$. J'ai plutôt l'impression qu'il n'y a rien à apprendre par cœur.

Homo Topi

@Sato je suis bien d'accord ! Les ressources que j'ai à disposition font toutes de la même manière, ça incite rapidement à croire que tout le monde fait comme ça. Dans la vie de tous les jours, je me fiche pas mal de "tout le monde fait comme ça" (sur mes goûts vestimentaires, musicaux, mes opinions politiques etc), mais en mathématiques, comme tout est rigidement codifié, ça me parait plus difficile de s'imposer en tant que type anticonformiste qui débarque en disant "z'avez tous tort"

@Math Coss je vois. J'ai besoin de réfléchir un peu avant de savoir si j'ai des choses avec lesquelles je ne suis pas d'accord. Le coup de $f \circ g$, je ne sais pas... $f \circ g(x) = f\big(g(x)\big)$, les trois lettres $f$, $g$ et $x$ sont dans le même ordre des deux côtés du $=$, ça peut se défendre. Comme dit, je vais réfléchir. J'ai besoin de gaspiller un peu de brouillon.

Sato

Oui, enfin, tout le monde ne fait pas ou n’a pas toujours fait comme ça. Je crois que Mickael Artin (le fils d’Emil) faisait autrement dans la 1ère édition de son Algebra et qu’il a changé dans la 2e. (À vérifier.)

Homo Topi

Retour à @Math Coss et @Thierry Poma :

Première réalisation de ma part : mon cerveau trouve que les formules dans mes bouquins manquent de flèches. Alors je vais mettre des flèches.

Soient $E$ un EV de base $B=(e_1,...,e_n)$ et $F$ un EV de base $B'=(e'_1,...,e'_m)$.

Soit $f : E \longrightarrow F$ une application linéaire. Je choisis de noter $Mat_{B \to B'}(f)$ la matrice dont la $k$-ième colonne donne les coordonnées de $f(e_k)$ dans $B'$ : donc la matrice des images des vecteurs de l'ancienne base, exprimées dans la nouvelle. C'est le contraire de ce que disait Math Coss (sauf s'il y a déjà quiproquo ici, on va bien voir) mais c'est bien ça qu'on appelle normalement la matrice de $f$ dans les bases $B$ et $B'$ : c'est la matrice qui permet d'écrire la formule usuelle $\boxed{Mat_{B'}(f(x)) = Mat_{B \to B'}(f) Mat_B(x)}$.

J'ai choisi cette notation parce que dans $E \longrightarrow F$, l'espace de départ est à gauche et l'espace d'arrivée est à droite, donc dans $Mat_{B \to B'}(f)$ je conserve que la base à gauche de la flèche est une base de l'ensemble de départ et la base à droite de la flèche est une base de l'ensemble d'arrivée. Si on note ça $Mat_{B',B}(f)$ en commençant par la base d'arrivée (comme dans mes bouquins), ça devient contre-intuitif selon moi, surtout quand on va avoir $E=F$ et qu'on regarde des changements de base. Donc, des flèches.

D'autre part, on a encore et toujours la formule qui n'a pas bougé : $\boxed{Mat_{B'}(x)=Mat_{B'}(B) Mat_B(x)}$, où $Mat_B'(B)$ est la matrice dont la $k$-ième colonne donne les coordonnées de $e_k$ dans $B'$ : donc celle qui exprime les vecteurs de l'ancienne base, dans la nouvelle.

Pour en venir à l'intervention de Thierry Poma, si $E=F$ et $f=Id$ dans ma première formule encadrée, on obtient : $Mat_{B'}(x) = Mat_{B \to B'}(Id) Mat_B(x)$. Donc $\boxed{Mat_{B \to B'}(Id) = Mat_{B'}(B)}$. Ça colle : $Mat_{B \to B'}(Id)$ est la matrice dont la $k$-ième colonne donne les coordonnées de $Id(e_k)=e_k$ dans $B'$, c'est exactement $Mat_{B'}(B)$.

Maintenant, je veux définir une matrice de "passage de $B$ à $B'$" : je la note $P_{B \to B'}$ avant de définir qui c'est. Toujours avec mon idée de flèches, je veux que cette matrice de passage prenne un truc exprimé dans la base $B$ pour l'exprimer dans $B'$, donc qu'elle fasse passer de $B$ à $B'$. Donc c'est la matrice telle que $\boxed{Mat_{B'}(x) = P_{B \to B'} Mat_B(x)}$.

Ah, ben, ça j'ai vu qui c'est : $\boxed{P_{B \to B'} =Mat_{B \to B'}(Id) = Mat_{B'}(B)}$. Pour moi, écrit comme ça, c'est intuitif et ne prête pas à confusion (encore heureux, vu que ce sont mes notations ). Le changement de base de $B$ vers $B'$ est une application linéaire $\chi$ qui prend $Mat_B(x)$ en entrée, renvoie $Mat_B'(x)$, et mes notations font en sorte que sa matrice soit $P_{B \to B'}$. Donc le changement de base de $B$ vers $B'$, c'est bien l'application $Id$ avec la base $B$ au départ et la base $B'$ à l'arrivée.

En écrivant les choses, c'est vrai que ça incite à donner raison à Math Coss : si on notait l'effet d'une matrice par une multiplication à droite, ça donnerait $Mat_B(x) P_{B \to B'} = Mat_{B'}(x)$. @nicolas.patrois et ça, comme tuyau, c'est joli ou pas ?

Je regarde à quoi ressemble un changement de base pour une application linéaire $f : E \longrightarrow F$. Je prends deux "anciennes" bases $B$ de $E$ et $C$ de $F$, et deux "nouvelles" bases $B'$ de $E$ et $C'$ de $F$. Je cherche à exprimer $Mat_{B' \to C'}(f)$ à partir de $Mat_{B \to C}(f)$.

$Mat_C(f(x))=Mat_{B \to C}(f)Mat_B(x)$, donc $P_{C \to C'}Mat_C(f(x))=P_{C \to C'}Mat_{B \to C}(f)Mat_B(x)$.

Or $Mat_{C'}(f(x)) = P_{C \to C'} Mat_C(f(x))$, donc $Mat_{C'}(f(x))=P_{C \to C'}Mat_{B \to C}(f)Mat_B(x)$.

Or $Mat_{B}(x) = P_{B' \to B} Mat_{B'}(x)$, donc $Mat_{C'}(f(x))=P_{C \to C'}Mat_{B \to C}(f)P_{B' \to B} Mat_{B'}(x)$.

Donc $\boxed{Mat_{B' \to C'}(f)=P_{C \to C'}Mat_{B \to C}(f)P_{B' \to B}}$. Pour moi, c'est très clair comme ça, mais encore une fois, avec des multiplications à droite, on aurait $Mat_{B' \to C'}(f)=P_{B' \to B}Mat_{B \to C}(f)P_{C \to C'}$, et là on voit vraiment la relation de Chasles de @JLapin.

Dans un contexte de diagonalisation : je prends $E=F$, $B'=B$ et $C'=C$. $B$ est l'ancienne base, je note $M:=Mat_{B \to B}(f)$ la matrice à diagonaliser, $D=Mat_{B' \to B'}(f)$ la matrice diagonalisée et donc $B'$ la nouvelle base (constituée de vecteurs propres de $f$). Soit $x$ un vecteur de matrices respectives $X=Mat_B(x)$ et $X'=Mat_{B'}(x)$. Alors :

$Mat_B(f(x))=MX$, donc $P_{B \to B'}Mat_B(f(x)) = P_{B \to B'}MX$, or $Mat_{B'}(f(x)):=P_{B \to B'}Mat_B(f(x))$ donc

$DX' := Mat_{B'}(f(x)) = P_{B \to B'}MX$. Comme $X'=P_{B \to B'}X$, ça donne : $\boxed{D(P_{B \to B'}X)=P_{B \to B'}(MX)}$. Dans ma tête, ceci exprime très clairement que changer de base d'abord, puis calculer l'image dans la nouvelle base, c'est pareil que de calculer l'image dans l'ancienne base, puis de changer de base. D'où l'idée que "la matrice de passage de $B$ vers $B'$" serait celle que je préconise, $P_{B \to B'}:= Mat_{B'}(B)$. Et il n'y a aucun $^{-1}$ qui traîne. On aboutit à $DP_{B \to B'}=P_{B \to B'}M$, donc $\boxed{M={P_{B \to B'}}^{-1}DP_{B \to B'}}$ s'il faut mettre un $^{-1}$ quelque part.

EDIT : ce message m'a pris beaucoup trop longtemps à écrire . Il est l'heure d'aller dormir. Si ça n'intéresse personne, ou si on trouve que j'en fais des caisses pour pas grand-chose, au moins je me suis persuadé que ma façon de voir les choses ne démérite pas. Si j'écris un cours d'algèbre linéaire un jour, je ferai à ma manière.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Quand on change de base, on exprime les vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne base et on appelle la matrice obtenue "matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle base". Tu as rappelé ça dans ton premier message, et ça me semble une très bonne raison pour la terminologie "matrice de passage".

Maintenant tu te plains que la matrice de passage $P$ donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : si on note $X$ les anciennes et $Y$ les nouvelles, $X=PY$. Si on veut les nouvelles en fonction des anciennes, c'est $Y=P^{-1}X$. C'est contra(va)riant mais c'est dans la nature des choses : si le passage de l'ancienne base à la nouvelle base est covariant, le passage des anciennes coordonnées aux nouvelles coordonnées est contravariant.

Et puis, je ne vois pas la difficulté pour la formule de changement de base, au contraire :  si $X'=AX$, alors $PY'=APY$ et donc $Y'=P^{-1}APY$.

Ton argument sur la diagonalisation me semble creux. Je m'explique : quand on diagonalise, par exemple pour calculer une puissance ou une exponentielle, ce qui vient en premier dans le calcul est bien la matrice $P$ de passage de l'ancienne base à la base de vecteurs propres, et pas la matrice $P^{-1}$ de passage des anciennes coordonnées aux coordonnées dans la base de diagonalisation. Et quoi qu'on fasse, pour calculer la puissance par ce moyen, on ne coupe pas au calcule de l'inverse de $P$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.

JavierT

Homo Topi a dit :

Ajout pour @JavierT : si tu fais (faire à tes élèves) un exercice de diagonalisation, et que tu aboutis à une matrice diagonale $D$ ainsi qu'à la matrice de passage $P$ constituée des vecteurs propres écrits dans la base canonique. Alors, certes, tu as fini l'exercice de diagonalisation, mais ça sert à quoi de diagonaliser ? Ben, à faire des calculs matriciels plus simples.

Je te rassure, je ne m’arrête pas simplement à un exo de réduction, diagonalisation ou trigonalisation de matrices. Les applications directes en maths sont le calcul d'une puissance de matrice, suite récurrente et système différentiel.

Cependant, ça a également une application concrète en mécnique des milieux continus au niveau de la réduction de la matrice d'inertie.

Homo Topi

@GaBuZoMeu justement, dans mon interprétation des choses, la terminologie est mauvaise. La "matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle base" donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles, pour moi avec un nom pareil elle devrait servir à exprimer les nouvelles à partir des anciennes, puisqu'on fait un changement de base pour avoir un meilleur système de coordonnées.

Dans les calculs, il n'y a rien qui change, sauf qu'on échange qui est noté $P$ et qui est noté $P^{-1}$. C'est juste le choix de la dénomination que je trouve tordu.

GaBuZoMeu

C'est ton sentiment. J'ai essayé d'expliquer pourquoi la terminologie me semble tout à fait correcte. Mon jeu de mot sur contra(va)riant ne t'a pas convaincu, tant pis.

Tu devras de toutes façons continuer de faire avec !

Sato

C'est peut-être parce que quand on voit le mot base, on pense à calcul de coordonnées. Mais la matrice de passage d'une base à l'autre traite des bases.

Kostrikin et Manin ont écrit dans algèbre et géométrie linéaires, Cassini, page 32 :
La matrice $A$ s'appelle matrice de passage de la base $(e_i)$ à la base $(\widetilde{e}_i)$ (ou des coordonnées relatives à la base $(\widetilde{e}_i)$ aux coordonnées relatives à la base $(e_i)$).

Homo Topi

Sois rassuré, je trouve cette histoire bel et bien contrariante. Mais je ne comprends pas ce que tu appelles covariant/contravariant ici. Tu parles de deux choses : le passage d'une ancienne base $B$ vers une nouvelle base $B'$, et le passage des anciennes coordonnées dans $B$ aux nouvelles coordonnées dans $B'$. Je ne comprends pas vraiment cette distinction. C'est peut-être ça qui me pose problème. Pour moi, le seul concept ici est "j'ai des matrices exprimées dans $B$, je cherche leur expression dans $B'$".

Je ne sais pas faire de diagrammes commutatifs sur le forum (tikz n'est pas chargé) mais je réfléchis à des histoires de diagrammes. Pour moi, le "changement de base de $B$ vers $B'$" est censé être une application $\chi : E \longrightarrow E$ dont la matrice, avec la base $B$ au départ et la base $B'$ à l'arrivée, est $Id_E$. C'est déjà dans le mauvais sens, là ? Le changement de base de $B$ vers $B'$ devrait, à mon sens, prendre un vecteur exprimé dans $B$ et l'exprimer dans $B'$. Commençons par vérifier ça... ce n'est que de la sémantique, c'est soit correct dans ce sens-là, soit c'est dans l'autre sens.

[Pour les diagrammes commutatifs, on peut sur le forum utiliser XY-pic. AD]

biguine_equation

Bonjour,
un exemple à deux dimensions. 

Supposons que j’ai deux bases d’un $k$-ev : la base $1$ et la base $2$. Exprimons chacun des vecteurs de la base $1$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base $2$. Soient $\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}$ leurs coordonnées respectives. On a la matrice de passage 
\begin{equation}
A=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \beta_1 \\
\alpha_2  &\beta_2
\end{pmatrix}
\end{equation}
On me donne un vecteur $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ exprimé dans la base $1$ et je veux savoir à quoi ressemblerait ce même vecteur si il était écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base $2$: 

\begin{equation}
A\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}
\end{equation}
C’est pourquoi je noterais la matrice de passage: $A_{B1 \to B2}$.

Si $\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ sont les coordonnées d’un vecteur écrit dans la base $2$ et que je veux connaître les coordonnées de ce vecteur écrit dans la base $1$, je calcule 
\begin{equation}
A^{-1}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\end{equation}
Je note alors $A^{-1}_{B2 \to B1}$.

Homo Topi

@biguine_equation donc tu interprètes les choses comme moi : ce que tu appelles "matrice de passage de $B_1$ à $B_2$" est celle par laquelle tu multiplies une matrice exprimée dans $B_1$ pour l'avoir exprimée dans $B_2$, et c'est la matrice qui exprime les anciens vecteurs de base (ceux de $B_1$) en fonction des nouveaux (de $B_2$). Donc le contraire de l'usage.

Je bidouille quelque chose avec des diagrammes commutatifs. Je n'ai pas terminé.

GaBuZoMeu

Les vecteurs d'une base sont des éléments de $E$. Les coordonnées dans une base sont des formes linéaires, des éléments de $E^*$. covariant-contravariant. OK ?

Homo Topi

Pour moi, les coordonnées, dans une base donnée, d'un vecteur $x \in E$, c'est un vecteur $X \in K^n$.
L'application qui à tout $x$ associe sa $k$-ième coordonnée dans une base donnée est une forme linéaire, ça oui.
Je crois que nous deux n'utilisons pas les mots de la même manière, mais je comprends ce que tu veux dire.

GaBuZoMeu

$f_j=a_j^ie_i$ et ${e^*}^i=a_j^i{f^*}^j$.
Définition de la matrice de passage, la matrice de passage donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.

Homo Topi

Je crois que je touche à quelque chose. J'ai l'impression de faire l'amalgame entre deux applications qui sont en fait différentes.

Je me donne un espace vectoriel $E$, disons de dimension $n$ sur un corps $K$, ainsi qu'une "ancienne base" $B=(e_1,...,e_n)$ et une "nouvelle base" $B'=(e'_1,...,e'_n)$ de $E$.

J'appelle $\varphi_B : E \longrightarrow K^n$, $x \longmapsto X:=Mat_B(x)$ et $\varphi_{B'} : E \longrightarrow K^n$, $x \longmapsto X':=Mat_{B'}(x)$ les deux applications de "choix d'une base".

Maintenant, j'abandonne complètement les notations usuelles pour recommencer du début sans m'auto-induire en erreur.

Il existe une application linéaire $f : E \longrightarrow E$ définie pour tout $k$ par $f(e_k)=e'_k$.

$f$ transforme bien $B$ en $B'$, et sa matrice dans les bases $B$ au départ et $B'$ à l'arrivée est $I_n$.

$f$ admet une réciproque $f^{-1}$ définie pour tout $k$ par $f^{-1}(e'_k)=e_k$.

$f^{-1}$ transforme bien $B'$ en $B$, et sa matrice dans les bases $B'$ au départ et $B$ à l'arrivée est aussi $I_n$.

Considérons maintenant l'application $Id : E \longrightarrow E$.

Via le choix des bases $B$ au départ et $B'$ à l'arrivée, $x \in E$ est identifié à $X := Mat_B(x)$ et $X':=Mat_{B'}(x)$.

Il existe donc une application linéaire $g : K^n \longrightarrow K^n$ telle que $\varphi_{B'} \circ Id = g \circ \varphi_B$.

Cette application linéaire $g$ est de la forme $X \longmapsto X':=GX$ pour une certaine matrice $G$. Par définition, $G$ est la matrice de $Id$ dans les bases $B$ au départ et $B'$ à l'arrivée. Ce que $g$ fait, c'est : elle prend la matrice $X$ d'un vecteur $x \in E$ dans la base $B$, et elle renvoie la matrice $X'$ du même vecteur dans la base $B'$. On peut refaire un exemple en dimension $2$ pour le fun, mais $G$ est la matrice des vecteurs de $B$ exprimés dans $B'$.

Pour moi, "faire le changement de base de $B$ vers $B'$" dans $E$, c'est cette deuxième situation : ce qui change, ce n'est pas ce qu'il se passe dans $E$, mais ce qu'il se passe dans $K^n$. Le changement de base vu comme un endomorphisme de $E$ envoie $x$ sur $x$ (donc agit comme $Id_E)$, mais comme endomorphisme de l'espace des matrices, il envoie l'ancienne matrice $X$ de $x$ sur la nouvelle matrice $X'$ du même vecteur $x$.

C'est pour ça que selon moi, il serait plus correct que la "matrice de passage de $B$ à $B'$" soit cette matrice $G=Mat_{B'}(B)$, qui est la matrice de $Id$ dans les bases $B$ au départ et $B'$ à l'arrivée.

C'est si tordu que ça comme point de vue ?

JLapin

C'est pas tordu mais ça manque de pragmatisme je trouve.

Quand tu fais une diagonalisation explicite et que tu trouves $B'=((1,1),(1,-1))$ comme base de vecteurs propres, tu n'as pas vraiment envie de faire autre chose que de poser $P=\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$, matrice de la base $B'$ dans la base canonique.

Dom

L’expression « $P$ matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B’$ » dit dans une sorte d’acception du langage courant que la matrice $P$ permet « de passer de $\mathcal B$ à $\mathcal B’$ » et on vient vite à se dire que quand on applique $P$ à $\mathcal B$, ça doit donner $\mathcal B’$. 

Autrement que l’on doit avoir $P ( \mathcal B ) =\mathcal B’$.

C’est une écriture empirique, dont je ne dis pas qu’elle a pour le moment un sens.
Est-ce ce que tu dis, Homo Topi ?
(c’est tellement le bazar - ça saute sans cesse - que je finirai plus tard)
Édit : corrections partielles… 😖 😡 

Homo Topi

Ben, on peut poser $P=$ça, oui, évidemment. Mais je n'appellerais juste pas cette matrice "matrice de passage de $B$ vers $B'$" parce que multiplier par $P$ ne transforme pas les matrices exprimées dans $B$ en les matrices des mêmes objets mais exprimées dans $B'$. Pour prendre une matrice exprimée dans $B$, et l'exprimer dans $B'$, il faut multiplier par $P^{-1}$ si on appelle ta matrice $P$, donc celle qui fait vraiment le passage des anciennes coordonnées vers les nouvelles, c'est $P^{-1}$, pas $P$. Et je trouverais plus pragmatique, logique, etc tout ce que tu veux, d'appeler "matrice de passage de $B$ vers $B'$" la matrice par laquelle on multiplie un truc exprimé dans $B$ pour l'avoir exprimé dans $B'$.

Homo Topi

@Dom j'en pense que ton $P$ devient un $M$ et qu'il manque un apostrophe quelque part j'attends que tu corriges pour comprendre ce que tu veux dire.

Homo Topi

Enfin, oui @Dom la "matrice de passage de $B$ à $B'$" devrait, à mon sens, avec un nom pareil, être la matrice par laquelle on multiplie les matrices dans $B$ pour obtenir les matrices des mêmes objets dans $B'$. C'est ça que sous-entend le nom. Le fait que ça ne corresponde pas est contre-intuitif, et à mon sens, c'est contre-intuitif sans bonne raison, puisqu'on peut rendre les choses intuitives en changeant la définition usuelle.

GaBuZoMeu

Encore une fois, les trucs qui font ce que tu écris avec la matrice de passage au sens de tout le monde sont les trucs covariants. Or les coordonnées sont contravariantes. Voir ce que j'ai écrit plus haut, et voir aussi la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Covariant_et_contravariant_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire)

Homo Topi

Je comprends bien. Le sens usuel de "matrice de passage" donne les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimées dans l'ancienne base. Mais ce n'est pas par cette matrice qu'on multiplie une matrice dans l'ancienne base pour avoir la matrice du même objet dans la nouvelle base. Et je trouve juste infiniment plus logique d'appeler plutôt cette deuxième matrice la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle.

biguine_equation

La multiplication à gauche par la matrice de passage correspond à une transformation géométrique qui déplace les vecteurs de la base $2$ vers ceux de la base $1$. Le vecteur qui en résulte s’exprime avec la même combinaison linéaire mais avec des vecteurs de base différents ! En revanche, le résultat numérique de cette multiplication est que les coordonnées d’un vecteur écrit en base 1 deviennent les coordonnées de ce même vecteur écrit cette fois en base $2$.
Homo topi: n’est-ce pas ce que tu qualifies de « tordu » ? En tout cas, ça peut désarçonner !

GaBuZoMeu

C'est ton opinion, et je ne la partage pas (je ne pense pas être le seul).
Et comme je l'ai déjà dit, il faut bien que tu t'y fasses parce que c'est la terminologie reconnue.

Pomme de terre

Merci à Sato et GaBuZoMeu dont les contributions permettent de bien circonscrire la question.
Lors d'un changement de base, il y a deux « passages » à bien distinguer (car ils ne se font pas dans le même sens) :

(1) le passage de la base $B$ à la base $B'$ ;
(2) le passage des cordonnées d'un vecteur dans $B$ aux coordonnées du vecteur dans $B'$.
La matrice de passage de $B$ à $B'$ est simplement celle qui décrit (1) dans la terminologie usuelle.
Homo Topi aimerait appeler ainsi la matrice qui décrit (2). Dans ce cas il faudrait accepter que la matrice passage de $B$ à $B'$ n'est pas celle qui correspond à (1). Bien sûr, tout est question de définition. Mais ça semble vraiment difficile à défendre.

Homo Topi

Je dissèque le message de @biguine_equation. Je commence à comprendre ce qui ne va pas.

La multiplication à gauche par la matrice de passage correspond à une transformation géométrique qui déplace les vecteurs de la base $2$ vers ceux de la base $1$.

Dans le plan $\R^2$, je prends $B=(e_1,e_2)$ la base canonique et $B'=(e'_1:=e_1+e_2,e'_2:=-e_1+e_2)$. La matrice de passage de $B$ vers $B'$ au sens usuel est donc $P=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne. L'opération géométrique qui envoie $B'$ sur $B$ est une rotation d'angle $-\pi/4$ suivie d'une homothétie de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, dont la matrice (dans $B$) est donc $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=P^{-1}$ ... donc c'est l'inverse de ce que tu dis ? Je pense que c'est une étourderie.

Donc la multiplication à gauche par la matrice de passage de $B$ vers $B'$ usuelle correspond à la transformation géométrique qui envoie $B$ sur $B'$. Là où il faut que je ne me perde pas, c'est : $P$ est donc une matrice de l'application linéaire $\chi_{B \to B'}$ définie par $\chi(e_k)=e'_k$ pour tout $k$. Mais c'est la matrice de $\chi_{B \to B'}$ dans quelles bases ? Dans la base $B$ au départ et à l'arrivée.

Le vecteur qui en résulte s’exprime avec la même combinaison linéaire mais avec des vecteurs de base différents !

Et effectivement, $Mat_{B'}(\chi_{B \to B'}(x))=Mat_B(x)$ pour tout $x$, c'est-à-dire $Mat_{B \to B'}(\chi_{B \to B'})=I_n$.

J'interprète que $\chi_{B \to B'}$ est communément comprise comme l'application "changement de base de $B$ vers $B'$". D'où mon choix de la noter $\chi_{B \to B'}$. En tout cas, $Mat_{B \to B}(\chi_{B \to B'})=P$, la "matrice de passage de $B$ vers $B'$".

Le truc que moi je voulais appeler un "changement de base", c'est : une multiplication par une certaine matrice, exprimée dans les bases $B$ et $B'$, qui envoie la matrice de $x$ dans $B$ sur la matrice de $x$ dans $B'$, et pas $x$ sur le $y$ dont la matrice dans $B'$ est la même que la matrice de $x$ dans $B$ (ça c'est le "changement de base" usuel via $\chi_{B \to B'}$). Appelons ce que moi j'avais en tête plutôt un "changement de coordonnées" de $B$ vers $B'$.

Donc je vais chercher une application $f$, et la matrice $A:=Mat_{B \to B'}(f)$ qui colle avec ça : $Mat_{B'}(x)=AMat_B(x)$.

Déjà, il est clair que $f=Id$, donc la question est, quelle est la matrice de $Id$ dans les bases $B$ au départ et $B'$ à l'arrivée ? C'est la matrice qui donne les $Id(e_k):=e_k$ dans la base $B'$, donc c'est $P^{-1}$.

Donc l'application "changement de coordonnées de $B$ vers $B'$" correspond par la multiplication à gauche par $P^{-1}$.

Résumé : $\boxed{P=Mat_{B \to B}(\chi_{B \to B'}) = Mat_{B' \to B}(Id)}$ et $\boxed{Mat_{B \to B'}(\chi_{B \to B'})=I_n}$.

Bien sûr, $\chi_{B' \to B} = \big(\chi_{B \to B'}\big)^{-1}$, donc $P^{-1}=Mat_{B' \to B'}(\chi_{B' \to B}) = Mat_{B \to B'}(Id)$.

Je trouve que ça illustre bien pourquoi la terminologie me semblait trompeuse. Justement :

Faire un "changement de base", c'est appliquer une $\chi$. On transforme un vecteur en celui qui a les mêmes coordonnées dans la nouvelle base. C'est bien ça qui envoie le $k$-ième vecteur de l'ancienne base sur le $k$-ième vecteur de la nouvelle base. Pour faire ce changement de base, on multiplie un vecteur à gauche par la matrice $P$ dite "de passage de l'ancienne base vers la nouvelle base" et dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne base.

Là où les explications me faisaient buguer, c'est : partant d'une matrice $X=Mat_B(x)$, puisque $P$ est la matrice de $\chi_{B \to B'}$ dans la base $B$ au départ et à l'arrivée, $PX$ est la matrice dans $B$ du vecteur dont les coordonnées dans $B'$ seront les mêmes que celles de $x$ dans $B$. Il faut encore exprimer $PX$ dans la base $B'$.

Faire un "changement de coordonnées", c'est appliquer une $Id$. On remplace la matrice de tout le monde par leur matrice dans la nouvelle base, ce qui se fait en multipliant leur matrice dans l'ancienne base par $P^{-1}$. Dans mon histoire de changement de base, ça donne bien : $Mat_B'(\chi_{B \to B'}(x)) = P^{-1}Mat_B'(\chi_{B \to B'}(x)) = P^{-1}PX = X = Mat_B(x)$, exactement ce qu'il faut.

Conclusion : les cours d'algèbre linéaire que j'ai vus/lus n'ont jamais été assez précis pour mon petit cerveau. J'ai toujours appliqué ces choses-là mécaniquement, visiblement sans comprendre exactement le fond des choses. Je faisais bien l'amalgame, d'une manière ou d'une autre, entre deux choses qui sont exactement réciproques.

EDIT : C'est probablement parce que le changement de coordonnées m'a l'air "plus utile" que le changement de base tout seul que j'ai voulu imposer que la "matrice de passage" devrait être celle qui fait le changement de coordonnées. En fin de compte, les deux choses sont exactement réciproques l'une de l'autre, la seule chose qu'il me manquait était la distinction changement de base/changement de coordonnées, sans ça j'ai toujours cru que c'était la même chose, donc les choses n'avaient pas tout leur sens. Ça, et les formules que j'ai encadrées.

Cependant, j'ai quand même une question. Et ce n'est pas une question troll, c'est une vraie question.

Est-ce que chercher, étant donné un vecteur $x$ de matrice $X$ dans la base $B$, le vecteur $y$ dont la matrice dans $B'$ est encore $X$, ça a un intérêt ? Je veux dire, ce procédé tout seul, pas suivi de ce que j'ai appelé un changement de coordonnées.

Sans vouloir immédiatement clore le fil, je remercie déjà tous ceux qui sont intervenus.

Paul Broussous

Dans mon cas, comme Homo Topi, je pense toujours en termes de la matrice de l'identité et je suis certain de ne pas me tromper : ${\rm Mat}_{B'}(v)={\rm Mat}_{B,B'}({\rm id})\times {\rm Mat}_B (v)$, où ${\rm Mat}_{B,B'}({\rm id})$ est par définition la matrice des coordonnées des vecteurs de $B$ écrits dans $B'$, qui se trouve être ... l'inverse de la matrice de passage de $B$ à $B'$.

 Et je le dis à mes élèves en cours (je ne sais pas s'ils en tiennent compte).

Homo Topi

On va encore me dire que je fais une fixette sur ça mais en réduction des endomorphismes, j'ai toujours du mal à retenir si c'est $M=P^{-1}DP$ ou $M=PDP^{-1}$. Le seul moyen mnémotechnique que j'ai trouvé est de retenir que la bonne formule est la plus vulgaire des deux. Je cache exprès.

(celle qui contient "pédé"...)

J'essaie autre chose. $M$ est la matrice $Mat_{B \to B}(f)$ de l'endomorphisme $f$ qu'on cherche à diagonaliser. $D$ est la matrice $Mat_{B' \to B'}(f)$ dans la nouvelle base.

$Mat_{B \to B}(f) = ? \times Mat_{B' \to B'}(f) \times ?$

La formule s'applique à une matrice dans $B$, et renvoie une matrice dans $B$, ça se voit à gauche du signe $=$. A droite, j'ai le contraire, une matrice de $f$ de et vers $B'$. Donc avant d'appliquer $Mat_{B' \to B'}(f)$, je dois envoyer le vecteur de $B$ vers $B'$, donc appliquer $Mat_{B \to B'}(Id)$. Idem, après avoir appliqué $Mat_{B' \to B'}(f)$, je dois retourner dans $B$, donc appliquer $Mat_{B' \to B}(Id)$. Donc :

$Mat_{B \to B}(f) = Mat_{B' \to B}(Id)Mat_{B' \to B'}(f)Mat_{B \to B'}(Id)$

Je suis capable de retenir que la matrice de passage de $B$ à $B'$ est celle des $e'_k$ exprimés dans $B$. Et ça, c'est $Mat_{B' \to B}(Id)$, donc la bonne formule est bien $M=PDP^{-1}$.

Je pense qu'il est bon de retenir les résultats avec les applications que j'ai appelées $\chi$, mais que les formules avec des matrices de $Id$ sont plus logiques pour moi, donc il vaut mieux que je retienne celles-là. Peut-être que le mieux est de donner les deux versions, et laisser à chacun le choix de laquelle fait plus de sens. En tout cas @Paul Broussous ça fait toujours du bien de savoir qu'on n'est pas le seul à réfléchir/comprendre différemment de la plupart.

Dom

Je n’ose pas dire comment j’avais appris par cœur que c’est bien $PDP^{-1}$ 🙈

bisam

Je ne sais pas si cela a été dit (il y a beaucoup de texte dans ce que raconte @Homo Topi ...) mais j'explique à mes élèves que "la matrice de passage de la base $B$ à la base $B'$" est "la matrice (dans la base $B$ au départ comme à l'arrivée) de l'unique application qui envoie les vecteurs de la base $B$ sur ceux de la base $B'$". En ce sens, elle fait bien passer de $B$ à $B'$.

Le fait que l'on obtienne une formule reliant les coordonnées dans la base $B$ aux coordonnées dans la base $B'$ est une conséquence de cette définition et de la relation "universelle" qui dit que si la matrice $A$ représente l'application $f$ dans les bases $B$ au départ et $B'$ à l'arrivée, si $X$ représente des vecteurs $(x_1,..., x_q)$ écrits dans la base $B$ et $Y$ représentent leurs images $(y_1,...,y_q)$ par $f$ écrites dans la base $B'$ alors $Y=AX$.

Homo Topi

Oui, il y a beaucoup de texte . Les fils où je suis le plus chiant sont clairement ceux où je dis que je n'aime pas une définition, ce n'est pas le premier.

@bisam pour économiser ton temps, tu peux lire le début de ce message uniquement, ça suffit amplement.

Le souci de fond pour moi, en gros, était que je comprenais la matrice de passage uniquement comme une matrice de l'application que je note $\chi_{B \to B'}$, et que je voulais y voir une matrice dont les bases de départ et d'arrivée sont $B$ et $B'$, pas deux fois la même base (ben oui, puisqu'on "change de base"). Donc la terminologie m'a induit en erreur. Si je pense en termes de changement de coordonnées (donc avec des  applications $Id$ au lieu des applications $\chi$), là tout est clair pour moi ; seulement, la matrice qui change les coordonnées de l'ancienne base vers la nouvelle est l'inverse de la matrice de passage.

C'est pour ça qu'au début, pour moi, il aurait été plus logique de considérer $P^{-1}$ comme "la matrice importante" (et donc de la noter sans un $^{-1}$). Mais si j'arrive à retenir que $P$ transforme les bases et $P^{-1}$ transforme les coordonnées, ça devrait aller. J'ai fait le travail pour ça dans ce fil, c'est pour ça que c'est long.

Clairon

GaBuZoMeu a dit :

C'est ton sentiment. J'ai essayé d'expliquer pourquoi la terminologie me semble tout à fait correcte. Mon jeu de mot sur contra(va)riant ne t'a pas convaincu, tant pis.

Tu devras de toutes façons continuer de faire avec !

Ton jeu de mot (que je ne connaissais pas !) m'a bien amusée