Une métrique définit-elle une géométrie ?

Balitran

Bonjour
Le tweet ci-dessous de Gabriel Peyré m'a intéressé et, après quelques recherches, une chose (voir plusieurs) m'échappe(nt).

https://twitter.com/gabrielpeyre/status/1622837566759391233

Ce qui me tarabiscote c'est que la géométrie change en fonction de la métrique alors que je pensais que celle-ci, la géométrie, était donnée a priori.
Je comprends qu'une "droite" étant la plus courte distance entre deux points, la géométrie va être modifiée par ma métrique. Mais en même temps, sans métrique, une surface de révolution à courbure négative constante est une géométrie hyperbolique. Bref, si quelqu'un pouvait m'aider à tirer tout ça au clair.
Merci d'avance.

Area 51

Bah, le tenseur métrique porte toutes les informations de la géométrie. À partir des $g_{\mu \nu}$ (on peut pousser le nombre d'indices mais déjà avec 2, ça ira bien), tu calcules les Christofel, les diverses courbures, etc.

Tiens, je suis intrigué par la mention "Kullback-Leibler", dont je ne connaissais que l'entropie (bon okay, c'est vrai que c'est une distance asymétrique).

Georges Abitbol

Je n'ai pas compris le lien entre les images, le tweet, et l'affaire des droites qui ne sont pas droites dans d'autres géométries.

Le transport optimal, c'est pas le problème de savoir comment "transporter" une masse $\mu_1$ sur une masse $\mu_2$ en minimisant quelque chose ? Qui sont les masses, sur les dessins ? Que représentent les courbes de la partie basse du dessin ?

Ça a l'air très intéressant, mais c'est un peu cabalistique...

Ramufasa

Bonjour,

Le transport optimal c'est effectivement le problème de savoir comment transporter une masse (= loi de probas) sur une autre en minimisant un certain coût, et ça donne lieu à une métrique (la distance de Wasserstein), qui donne aux espaces de gaussiennes une structure riemannienne. 

Concernant images, tweet et géométrie, peut-être que le lien est le suivant : on se place sur l'espace des mesures de probas gaussiennes paramétré par $(\sigma, m)$ et on regarde les deux points extrêmes sur le dessin (la gaussienne toute rouge et la gaussienne toute bleue). Alors, si on parcourt la Fisher-Rao géodésique entre ces deux gaussiennes, on parcourt un arc de demi-cercle dans le plan $(\sigma, m)$, et si on parcourt la Wasserstein géodésique, on parcourt un segment dans le plan $(\sigma, m)$.

Positif

La sous-variété est indépendante de la métrique que tu choisis. Une sous-variété c'est un ensemble $S$ défini par une équation $S := \{ x \in \mathbf{R}^n \mid f(x) = 0 \} $ et une sous-variété nous donne une métrique $g$ canoniquement associée. Mais si pas hasard tu décides pour X ou Y raison de choisir une métrique $k$ sur ta variété - en supposant que toutes les conditions de régularité de $k$ soient vérifiées - alors tu auras un moyen de définir des distance sur $S$. Par exemple si $S$ est la sphère unité 3D on peut définir une distance entre deux points $A$ et $B$ de $S$ comme étant leur angle dans le plan contenant OAB.

Ramufasa

Du coup, la distance de Wasserstein est "flat" car interpoler au sens de Wasserstein, c'est "comme" interpoler au sens de la métrique euclidienne dans le plan.

Barjovrille

Pour ceux que ça intéresse Gabriel Peyré (l'auteur du tweet) et Marco Cuturi ont écrit un texte intéressant sur le transport optimal (il y a notamment une partie qui parle des applications du transport optimal aux statistiques/data sciences).
D'ailleurs on peut retrouver l'image du tweet à la page 119, avec plus d'explications, et des références qui détaillent la partie géométrie différentielle du transport optimal.
Voici le lien https://arxiv.org/abs/1803.00567

Georges Abitbol

@Ramufasa : Aaaaaaaah ok. Effectivement. Si quelqu'un sait faire ça facilement, est-ce que c'est possible de faire une représentation 3D de ça ? On choisit une direction horizontale comme étant le "temps" et sur les directions orthogonales, on trace les densités de probabilités. On a l'impression qu'avec Fisher-Rao, l'endroit où les densités sont toutes plates est comme une sorte de raccourci !

Balitran

Merci à tous pour vos réponses.

Je pense y voir plus clair. Mon problème venait sûrement d'un "amalgame" entre géométrie et variété. Donc, si j'ai bien compris, une métrique, peut définir une géométrie (comme dans le cas présenté - on peut aussi définir une géométrie a priori et sans métrique, mais ce n'est pas le cas ici).

Par contre, métrique et (sous-) variété sont indépendantes dans le sens où la variété est donnée a priori ici et qu'elle n'est pas modifiée par la métrique (contrairement à la géométrie).

Merci en particulier à Positif dont le post m'a aidé à y voir plus clair.

P.S: J'espère ne pas avoir dit trop de bêtises. Et content de voir que le sujet intéresse certaines personnes.