Convergence presque sûre

LeVioloniste

Bonjour,
voici un exercice qui évoque la cvg ps. Voilà ce qui m'intéresse ce sont les manipulations autour des réunions et intersections.

LeVioloniste

Q1
Remarquons que $\{w \in \Omega,|X_n(w)|<\epsilon \}$ est un évènement. Donc c'est aussi une partie, par intersection et réunion de parties on obtient une partie qui est un évènement. Que dire de plus ?

LeVioloniste

Q2
Considérons la suite $A_k=\cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)|<\epsilon \}$
$(A_k)_k$ est une suite croissante pour l'inclusion. $A_k \subset A_{k+1}$ est clair.
Je me pose la question $\mathbb{P}( \cup_k A_k) = \lim_{k \mapsto +\infty} \mathbb{P}(\overline{A_k})$.

$X_n(w) \mapsto_{n -> +\infty} X(w)$ est équivalent au fait que $\forall \epsilon >0$, $\ \lim_{k \mapsto +\infty} \mathbb{P}( \cup_k \cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)|<\epsilon \} ) = 0$ ?
ou $\mathbb{P}( \cap_{\epsilon>0} \cup_k \cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)|<\epsilon \} ) = 0$

Après  $\cup_k \cap_{n \geq k} (U_k) = \lim _{k \mapsto +\infty} \inf (U_k)$ peut_il me servir ?
Dans les livres que je lis on utilise des $1/k$ à la place des epsilons mais c'est équivalent.
Doit-on procéder par double inclusion ici ?
Merci.

JLapin

LeVioloniste a dit. Donc c'est aussi une partie, par intersection et réunion de parties on obtient une partie qui est un évènement. Que dire de plus ?

Plein de choses, à commencer par le fait que si tu détestes autant les probas et le formalisme inhérent à ce champ des maths, pourquoi t'infliges-tu la rédaction bâclée de tels problèmes ?

LeVioloniste

Je ne bâcle rien, j'essaie de comprendre les mécanismes de justification.
Dans un livre Probas/Stats pour l'Agreg de Ruch Chabanol, tu lis que :

$\{w \in \Omega\mid X(w) = \lim_{{n \mapsto +\infty} } X_n(w) \} = \cap_{p \geq 1} \cup_{m \in \mathbb{N}^* } \cap_{n \geq m} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)-X(w)|<1/p \}$ n'est pas trivial.

Voici leur explication.
La première intersection est décroissante, on déduit la cvg ps de $X_n$ vers $X$ ssi $\forall p>0,\ \mathbb{P}(\lim_{n \mapsto +\infty} \inf |X_n-X| < 1/p)=1$ ssi $\forall p>0,\ \mathbb{P}(\lim_{n \mapsto +\infty} \sup |X_n-X| > 1/p)=0$.
Je saisis mais l'écriture est impressionnante. On part de la fin des équivalences pour une autre écriture de la cvg de la suite, on passe aux inf pour que cela corresponde à l'écriture d'un inf dans la 'triple écriture réunion et intersection'.

@JLapin Je ne bâcle rien, je cherche à faire des démonstrations compréhensibles.
Quels arguments utiliserais-tu pour Q1 ? L'ensemble des évènements est une tribu, donc on a stabilité par réunion dénombrable ... Est-ce que ma justification te semble insuffisante ?

raoul.S

LeVioloniste a dit :

L'ensemble des évènements est une tribu, donc on a stabilité par réunion dénombrable ... Est-ce que ma justification te semble insuffisante ?

Pour la Q1 il faut dire qu'il y a stabilité par union et intersection dénombrable autrement c'est faux. Ta rédaction ICI est insuffisante.

LeVioloniste

Et bien c'est les vacances ! Si j'ai un peu de courage je posterai le soir.
Ici l'enjeu est la qualité des démonstrations.
C'est pour cela que je prends vos avis.

JLapin

Tes démonstrations n'ont rien de qualitatif. En fait, ce ne sont pas des démonstrations. Tu devrais lire un cours de probas avant de t'attaquer à des exos comme celui-ci. Il y a plein de références plébiscitées, comme le livre de Walter Appel ou encore les deux manuels de M. Ouvrard.
Par exemple, une phrase comme celle-ci :

$X_n(w) \mapsto_{n -> +\infty} X(w)$ est équivalent au fait que $\forall \epsilon >0$, $\ \lim_{k \mapsto +\infty} \mathbb{P}( \cup_k \cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)|<\epsilon \} ) = 0$ ?

n'a absolument aucun sens.

LeVioloniste

J'ai le Ouvrard2 mais là où je suis j'ai emmené
Théorie des probabilités - Candelpergher
Probabilités et Statistiques - Chabanol Ruch

Je vais essayer de répondre avec ces bouquins.

LeVioloniste

Q1 seul : je ne peux pas parler d'intersection dénombrable ici d'évènements, ce n'est pas dans la définition d'une tribu.
Ensuite je pars sur les livres de probas, et ce qui est en lien avec l'énoncé.

Voilà il y a 2 approches différentes : soit directement sur la notion de convergence de la suite $(X_n)$ soit en prenant en compte que le ps induit l'existence d'un ensemble de probabilité nulle, correspondant au 'presque'.

Rappelons donc pour être très rigoureux :

$X_n(w) \mapsto_{n -> +\infty} X(w) $ p.s. ssi $X_n(w) \mapsto_{n -> +\infty} X(w)  $ $\forall w \in \Omega-A$ où  $A$ tq $\mathbb{P}(A)=0$.

Du coup je voudrais raisonner sur cet ensemble. Ici le $X=0$.

$A=\{ w \in \Omega, X_n(w) \nrightarrow 0  \}$ quand $n \mapsto +\infty$.

Or, $X_n \nrightarrow 0$ ssi  $\exists \epsilon >0$, $\forall k \in \mathbb{N}, \exists n, n \geq k$ tq $|X_n(w)| > \epsilon$ (négation de la convergence)

Maintenant on écrit cela avec les ensembles, l'existence correspond à la réunion, le pour tout à l'intersection :

$A= \cup_{\epsilon>0} \cap_k \cup_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)| > \epsilon \}$

Donc, $\mathbb{P}(A)=0$ ssi $\mathbb{P}(\cup_{\epsilon>0} \cap_k \cup_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)| > \epsilon)=0$

ssi $\forall \epsilon>0$, $\mathbb{P}(\cap_k \cup_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)| > \epsilon \})=0$ et en passant au complémentaire,

ssi $\forall \epsilon>0$, $\mathbb{P}(\cup_k \cap_{n \geq k} \{w \in \Omega\ ;\ |X_n(w)| < \epsilon \})=1$
ssi $\forall \epsilon>0$, $\mathbb{P}(B(\epsilon))=1$

Donc, $B(\epsilon)$ est un évènement, donc dans la tribu des évènements.

Puisqu'on a raisonné par équivalence, on trouve que $C=B(\epsilon)$.

LeVioloniste

Q3a
Si $\epsilon < \epsilon'$, alors $[|X_n| < \epsilon] \subset [|X_n| < \epsilon']$ puis par réunion et intersection $B( \epsilon) < B(\epsilon')$.

LeVioloniste

Q3b
C'est la question Q1. Au lieu d'écrire avec des epsilons on utilise $\epsilon=1/p$.
Je ne comprends pas cette question !

bd2017

LeVioloniste a dit :

Rappelons donc pour être très rigoureux :

$X_n(w) \mapsto_{n -> +\infty} X(w) $ p.s. ssi $X_n(w) \mapsto_{n -> +\infty} X(w)  $ $\forall w \in \Omega-A$ où  $A$ tq $\mathbb{P}(A)=0$.

Bonjour

J'ai l'impression  que tu écris n'importe quoi (voir comme exemple la petite phrase ci dessus que j'ai recopiée) et que tu sèches sur Q3b alors que tu n'as toujours pas fait correctement  les questions précédentes comme te l'a fait remarquer @Jlapin. Comment peux-tu faire Q3 b  alors que Q1, Q2,Q3a sont  faux?

Q1  est faux évidemment faux.  Au minimum cite la partie du cours que tu as utilisée.

Q2. Je ne vois aucun rapport avec ce que tu as écrit et la question.

Enfin Q3.a  n'est pas convaincant du tout.

Je pense que tu dois faire sérieusement Q1,Q2, Q2 a.  Sinon je ne vois pas comment tu  peux Q3b, puis comprendre l'intérêt de Q3 b  et finalement montrer Q3b.    

LeVioloniste

Comment dans ton encadré ce que j'écris est-il faux ?

Je l'ai pris dans le Candelpergher de Calvage et Mounet.
Mais qui êtes vous tous les gens qui m'écrivent sur les posts pour dire que des gens, parmi les meilleurs professeurs de France disent n'importe quoi, comme ce passage extrait de ce livre ?
Je vais finir par croire que ce sont ceux qui répondent qui n'ont pas un si bon niveau en maths !
Écrivez moi des réponses pour répondre aux questions posées plutôt que de le dire que je suis mauvais.
Je vous le dis à tous ceux qui me lisent, je n'ai jamais de ma vie été autant critiqué et maltraité.
Je suis ingénieur, professeur agrégé et archi nul quand je vous lis.
Mais dites moi vos niveaux, vos diplômes vous tous les critiques qui ne proposent rien que du bashing à tout va. Et si c'est juste pour critiquer allez voir ailleurs, vous n'êtes d'aucune aide.
Posez vous la question : quelle est la valeur ajoutée de votre intervention ? 

Poirot

On parle bien de ce Candelpergher ? Celui qui n'écrit absolument pas le charabia faux que tu as écrit ?

JLapin

La valeur ajoutée c'est que la phrase que tu prétends avoir citée manque de quantificateurs, ce qui en fait une phrase mathématique assez peu rigoureuse.

Par ailleurs, le reste de ton message est totalement lunaire. Je dirai juste que je trouve que tu cherches des exos qui dépassent largement ton niveau, et aussi que je n'ai jamais vu de ma vie des énoncés d'exos être aussi critiqués et maltraités.

Dom

Parfois on se préoccupe davantage des intentions, voire on fait des procès d’intentions. 

Les réponses, il faut les lire pour ce qu’elles disent littéralement. 

Si ce sont des messages malsains, on va s’en rendre compte. 

Au lieu de critiquer la critique, cherchons à discuter avec comme seuls arguments : le cours de maths et le langage mathématique. On ne peut pas tricher avec ça. Et même si des messages arrivaient pour te contrarier, si tu parles maths, ils ne t’atteindront pas.

JLapin

@Poirot

Merci pour le scan. On pourrait pinailler en disant qu'il manque un "dénombrables" vers la fin de la page scannée

gebrane

Bonjour, je ne comprends pas cette réponse en réponse à raoul  "je ne peux pas parler d'intersection dénombrable ici d'évènements, ce n'est pas dans la définition d'une tribu." Car tu l'as automatiquement d'après la définition (stabilité au passage au complémentaire  et réunion dénombrable).

Alexique

@LeVioloniste : on s'en fiche un peu de ton parcours et de tes diplômes, tout comme des nôtres. C'est un peu la force des mathématiques : les arguments d'autorité n'ont aucune valeur. Tu peux être Cédric Villani et me dire que 1+1=0, j'ai la capacité de te donner tort alors que je suis nobody, par démonstration ou contre-exemple. Donc si tu es agrégé, ça n'empêche que tu n'as pas su faire un paquet de trucs qu'un certifié voire un élève de lycée sait faire. Quand tu as une fonction à optimiser et que tu me dis "je fais quoi ?", un élève de 1ère générale sait qu'il faut calculer la dérivée et chercher les points critiques. Quand tu ne sais pas exprimer la fonction de répartition d'une va centrée réduite en fonction de la va non centrée non réduite, on peut aussi s'interroger. Je suis content pour ta vie personnelle et professionnelle que tu aies le statut d'agrégé mais tes interventions ne reflètent aucunement ce degré d'expertise et de maitrise des concepts. Mais après tout, si je devais repasser des concours ou des examens que j'ai eu réussi, pas sûr que j'y arriverais. 

Par contre, tu as raison sur ce point : si on répond avec pour seul moteur la critique acerbe et le bashing, il vaut mieux arrêter de répondre. J'ai arrêté avec OShine très tardivement, ça m'a vacciné donc j'arrête immédiatement avec toi voyant que tu ne suis pas les indications (et que tu commences à penser qu'on est stupide et que tu es plus intelligent).

LeVioloniste

@gebrane j'ai pensé au passage au complémentaire mais comme c'est sur une réunion infinie je ne suis pas certain que cela marche.

@Alexique : le seul point qui m'a interrogé lors de nos échanges c'est que dans la formule de l'estimateur, si tu reinjectes,'Yi=aXi+Ui ' tu retrouves formellement le 'a'. Cela me pose toujours question cette égalité stricte. Pour le reste dire que je n'ai pas suivi tes idées non, j'ai essayé de raisonner à ma façon avec tes indications et j'ai réussi donc je t'en remercie.

@Poirot oui c'est celui-ci il n'y en a pas 2 et j'ai pris la page précédente de mémoire. J'ai réécrit la démonstration avec du epsilon au lieu de ce qui est écrit. Mais bon on me dit que tout est faux ... Tu sais que un autre post un calcul de JLapin est faux je n'ai rien dit .... Je respecte ses contributions, dont j'ai moi même profité.

@Dom Je vais essayer de prendre du recul mais pour moi c'est intellectuellement violent.
Tu remarqueras que quasiment personne n'écrit de solution 

gebrane

A te lire "mais comme c'est sur une réunion infinie je ne suis pas certain que cela marche." Si tu ne connais pas les basiques, je ne sais pas comment tu peux avancer. 

LeVioloniste

@gebrane sur une réunion finie ok, mais sur une réunion infinie dénombrable je ne l'ai jamais lue. Peux-tu m'écrire la démonstration ? Comme cela j'aurai appris quelque-chose.

LeVioloniste

Après que je suis nul, que je ne connais pas mes basiques, que je ne sais pas ce qu'est une espérance ... Tout le monde le sait, ce n'est plus la peine de l'écrire. Déjà je pense à changer de pseudo. Le roi des nuls, la quiche en maths, tiens tu verras ce sera la surprise.
En attendant écris moi stp la démonstration.

bd2017

@Le Violiniste. Tu peux changer de pseudo.  Mais si tu ne changes pas ta façon d'écrire les maths, tu vas te retrouver avec les mêmes  remarques.

Comme on te l'a dit,  c'est inutile de montrer ici son pedigree. On est sur un forum convivial, mais c'est un forum de math. Et il s'avère qu'un certain nombre de personnes savent dire que ceci est faux, ceci n' a pas de sens, "tu écris n'importe quoi" .. Le but n'est pas de dire que quelqu'un est nul, que sa réponse est nulle ou qu'il est nul.

 Mais si une personne  écrit n'importe quoi, c'est à dire quelque chose qui n'a pas de sens et bien ça n'a pas de sens, C'est certain qu'on va lui faire remarquer. Alors prend la remarque positivement et corrige toi.

J'en reviens à mon conseil: Commence par faire $Q_1$ en citant avec rigueur le cours qui correspond à la question.

bisam

@LeVioloniste : Dans n'importe quel cours de niveau L1, tu trouveras la preuve suivante dans les toutes premières pages :

\[\begin{align*}x\in \overline{\bigcap_{n\in\N} A_n} &\iff x\not\in \bigcap_{n\in\N} A_n \\ &\iff non\left( \forall n\in\N, x\in A_n\right) \\ &\iff \exists n\in \N, x\not\in A_n \\ &\iff \exists n\in \N, x\in \overline{A_n} \\ &\iff x\in \bigcup_{n\in\N} \overline{A_n}\end{align*}\]

LeVioloniste

Et bien pour la Q1 j'ai besoin de justifier (comme le dit gebrane) que l'intersection infinie d'événements est un évènement.
Et bien je ne suis pas sur en passant au complémentaire la stabilité par réunion dénombrable que j'obtienne la stabilité des intersections.
Je parle là de la définition d'une tribu.

Voilà mon problème. 

Quand je demande une démonstration personne ne me répond.

Qui sait justifier cela à condition que cela soit vrai...
Et là j'aurai fini Q1.

Il faut faire l'effort de comprendre ce qui me bloque.

LeVioloniste

Je vois que @bisam a répondu je vais lire.
Merci à toi.
La formule de De Morgan marche sur un nombre infini d'ensembles. Je ne l'ai jamais lu, je suis de la vieille génération. En fait ça existe dans le Candelpergher p449. Je n'avais pas lu cette annexe.

Dom

Mais, n’est-ce pas justement par définition d’une tribu, cette stabilité ? Essayons d’être clair car il y a eu plusieurs échanges.

Quelle est la question ?
Quel est le point qui pose problème ?

Alexique

Cours de L1 : http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Rudiments%20de%20logique%20et%20vocabulaire%20ensembliste.pdf 



Evidemment que la formule de Morgan est vraie, comme toutes les formules de la théorie des ensembles, même en indexant par un ensemble infini indénombrable. Ce n'est pas une histoire de jeune ou vieille génération, tu ne connais pas ton cours. Elle est peut-être dans l'annexe de ton livre capillotracté mais elle est surtout dans tous les manuels de début de supérieur. 

LeVioloniste

@Dom je viens de comprendre que la stabilité de l'union dénombrable d'évènements implique la stabilité par intersection dénombrable en utilisant la formule de De Morgan généralisée. 
RaoulS l'avait dit, une autre personne du forum l'a démontré, je n'ai cette démonstration écrite par @bisam dans aucun de mes livres.
Là j'ai tout compris.

Dom

👍

JLapin

LeVioloniste a dit :
Tu remarqueras que quasiment personne n'écrit de solution 

C'est normal : tu présentes des énoncés d'exercices que tu essayes de résoudre. Ce serait alors contraire à la charte du forum que de te donner une solution complète.

La plupart des personnes qui te font telle ou telle observation ont déjà rédigé de nombreuses réponses complètes par ailleurs.

Et à quel moment as-tu demandé une démonstration ? J'ai plutôt lu que tu allais essayer de répondre toi-même aux questions à l'aide d'un bouquin, ce qui me semble une bonne idée.

gebrane

Je vois que tu prends les critiques des autres avec une grande sensibilité .  Il ne faut pas t'infliger cette souffrance.
Sache aussi qu'on n'est pas dans l'obligation de te fournir une preuve détaillée et surtout sur un truc basique. Cela ne sert à rien.
Une question basique pourquoi $\{ |X|>a\} $ est un élément de la tribu si $X$ est une v.a et $a$ un réel. 
Bonne journée.

Positif

L'auteur , si  $(X_n)_n$ est une suite de variables aléatoires, $\inf_n X$ est-elle un variable aléatoire ? 

LeVioloniste

@gebrane c'est moi qui pose les questions donc il m'appartient de dire ce qui me sert ou pas.

@Alexique : tu es là personne la plus irrespectueuse que j'ai rencontrée sur ce forum. Ma question était que je n'arrivais pas à exprimer l'écart quadratique avec 'c', en fonction de la lettre. J'ai su étudier la fonction une fois celle-ci trouvée. Ce que je n'ai pas fait est de vérifier que c'est un minimum ou un maximum.
Je n'aime pas la façon dont tu m'écris donc je te demande de ne plus écrire ni intervenir dans mes posts. J'en suis à trouver tes propos insupportables. Donc merci de m'oublier.

LeVioloniste

@JLapin j'arrive à répondre aux questions avec les  aides proposées. Mais la plupart du temps je suis en difficulté pour aller sur une bonne piste. C'est pour cela que j'écris. Sur des sujets en algèbre ou analyse je poste rarement. Je fais parti de la génération où on apprenait les séries de Fourier en classe préparatoire.
Il faut acquérir les bons réflexes en probabilités et statistiques, c'est ce que j'apprends.

L'exo que je poste ici construit la convergence PS, c'est très formateur.

Alexique

C'est noté. Tu ne me le diras pas 2 fois. Bon vent et bon courage aux gens qui prennent la peine de t'aider surtout.

LeVioloniste

Positif a dit :

L'auteur , si  $(X_n)_n$ est une suite de variables aléatoires, $\inf_n X$ est-elle un variable aléatoire ? 

Oui d'ailleurs un exercice classique est de trouver la fonction de répartition quand les lois sont à densité et iid.
Dans le cas général je n'en sais rien. Je n'ai jamais rencontré ce cas.

gebrane

Ma question était pour te faire réfléchir si tu as les bases. Elle se traite de deux façons. Une façon express et une façon qui demande de démontrer que la valeur absolue d'une v.a est une v.a. Si j'ai compris,  ton principe est de poser tes questions et les autres répondent.

LeVioloniste

gebrane a dit :

Une question basique pourquoi $\{ |X|>a\} $ est un élément de la tribu si $X$ est une v.a et $a$ un réel.

Il faut un univers et une loi de probabilités à minima pour répondre.

Bibix

Non, il faut un espace probabilisable $(\Omega, \mathcal{A})$ pour répondre. MAIS la réponse ne dépend pas de cet espace.

LeVioloniste

J'ai rarement répondu @gebrane mais j'ai tendance à poser des questions...
C'est que je cherche à progresser en probabilités/statistiques.

J'apprends avec mes livres mais le regard extérieur des forumeurs m'a incité à réfléchir et à progresser.

J'aimerais un jour où j'ai le temps faire les exos du superbe livre de M Testard 'La maîtrise de l'implicite.' Je me régale des livres de l'éditeur C&M.
On verra dans quelques temps.

gebrane

Elles ont quoi mes questions?. Ici ma question vient d'une remarque que tu as faites dans ta réponse  à Q1: remarquons que .... est un événement , c'est-à-dire un élément de la tribu.

LeVioloniste

Dans le cadre de l'exercice, 'Abs(Xn)>a' est équivalent à 'Xn>a' ou 'Xn<-a'. Désolé j'écris avec mon téléphone portable.
Ça c'est le cours du lycée sur le 2nd degré.

Après si je considère le premier événement 'A=Xn>a' pourquoi est-ce bien un évènement ?
En général on ne se pose pas la question. Un évènement est une partie de Omega. Et ici c'est bien le cas.
Voilà ce que je peux dire.

Est ce qu'invoquer la notion de partie est suffisante ? C'est ce que je pense.

JLapin

Non, un événement n'est pas juste une partie de $\Omega$, c'est un élément de l'algèbre des événements (sous ensemble de $P(\Omega)$).

Pour justifier qu'une partie de $\Omega$ est un événement, il suffit de l'écrire à partir d'événements élémentaires en utilisant les opérations ensemblistes usuelles et de signaler le caractère au plus dénombrable des réunions / intersections utilisées.

Par exemple, une réunion d'événements indexée par tous les réels strictement positifs n'a pas de raison d'être un événement dans le cas général.

raoul.S

Le Candelpergher introduit bien la notion de tribu je crois. Il serait préférable de lire le cours avant de s'attaquer à des exos comme celui de ce fil, car ce dernier utilise cette notion...

LeVioloniste

Rebonjour

@raoul.S et @JLapin :

Voilà ma définition est une définition de lycéen. En fait la question de @gebrane montre que je ne maîtrise pas parfaitement mon cours, plusieurs me l'ont déjà dit, donc je voudrais partager avec vous ce que j'en comprends.

Déjà pour reprendre ce que dit @Bibix $\mathcal{A}$ sont les parties mesurables de l'espace $(\Omega, \mathcal{A})$. C'est un espace mesurable.

Ensuite cet ensemble $\mathcal{A}$ est inclus dans  $\mathcal{P}(\Omega)$.
Ensuite $\mathcal{A}$ est une $\sigma$-algèbre, ou une tribu.

Dans le Candelpherger p4 il est dit que les évènements sont représentés par certaines parties de $\Omega$.
Il rajoute p5 que les opérations sur les évènements exigent que ceux-ci forment une famille de parties de $\Omega$ : nécessité de réunion et de passage au complémentaire.
Donc $A \in \mathcal{A}$ signifie que $A$ est un évènement.

Par contre quand je prends la question de @gebrane, pourquoi $[|X|>a]= [ X >a] \cup [X < -a]$ est un évènement ? (X va et a réel)

Cela revient à justifier que $[X>a]$ et $[X<−a]$ sont des évènements.

En reprenant la définition d'une tribu, la partie vide est dans chaque évènement, et le passage au complémentaire des évènements est dans la tribu.

Cela résulte du fait que $\Omega$ appartient à $\mathcal{A}$.

La stabilité par réunion dénombrable n'est pas à vérifier.

Ok ?

Mais la phrase du Candelpherger p4 est floue pour moi...

raoul.S

Bon, j'ai réussi à me procurer le Candelpherger pour savoir de quoi tu parles

En résumé, les premières pages du bouquin ne sont pas suffisantes pour pouvoir répondre à ce genre de questions (celles de l'exo que tu fais et celle de gebrane). Il faut avancer beaucoup plus dans ta lecture.

Plus précisément :
- c'est à la page 45 que tu as la définition de tribu, fondamentale pour la suite,
- ensuite c'est au bas de la page 75 que tu trouveras la définition rigoureuse de variable aléatoire réelle avec le théorème suivant (début page 76) important à connaitre,
- enfin la première proposition de la page 91 permet de répondre à la question de gebrane...

Bref, tu vois bien qu'il te faut encore lire beaucoup pour acquérir les connaissances que tu désires.

gebrane

Mon but n’était pas de montrer aux autres que tu ne connais pas ton cours. Je suis intervenu suite à  cette phrase "Là j'ai tout compris" dans ton message https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2409429/#Comment_2409429

LeVioloniste

Cet exo c'est vraiment délicat à rédiger !