Topologie Initiale
Bonjour,
Soit $E$ ensemble, soit $(F,\mathcal T_F)$ un espace topologique et soit $\mathcal A \subset F^E$
Notons par $\mathcal T_E$ la topologie initiale associée à $\mathcal A$.
On sait que $\forall f \in F^E, \quad f \in \mathcal A \implies f \text{ est continue}$
A-t-on l'inverse ?
Si oui, la démonstration de ceci sera immédiate. (H.Bresiz - Analyse fonctionnelle 1983)
Si oui, la démonstration de ceci sera immédiate. (H.Bresiz - Analyse fonctionnelle 1983)
Merci, et bonne journée.
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Réponses
Ne peut-on pas considérer une fonction constante $f$ telle que $f \notin \mathcal{A}$ ?
@Alesha on n'a pas beaucoup d'infos sur $\mathcal{A}$ si $\mathcal{A}$ contient toutes les fonctions constantes on ne peut pas faire comme tu as dit.
Mais dans le cas particulier de la proposition cité par Snobi c'est effectivement un contre-exemple.
Merci Raoul.S pour éclaircissement de ce lemme
En prenant pour $\Sigma$ l'espèce de structure topologique, on obtient que
Définition 1.
Soit $E$ un ensemble et $(F_i, \mathcal T_{F_i})_{i \in I}$ une famille d'espaces topologiques.
Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille d'applications de $E$ dans $F$.
On dit qu'une topologie $\mathcal T_E$ sur $E$ est initiale pour $(F_i, \mathcal T_{F_i}, f_i)_{i \in I}$ ssi elle vérifie l'équivalence suivante:
$\forall (X, \mathcal T_x), \ \forall g \in E^X, \qquad g \in \mathcal C(X,E) \iff \forall i \in I, \ f_i \circ g \in \mathcal C(X,F_i)$
Soit $\mathcal T_E$ une topologie sur $E$,
Si $\mathcal T_E$ est initiale pour $(F_i, \mathcal T_{F_i}, f_i)_{i \in I}$
Alors, $\mathcal T_E$ est la topologie moins fine telle que $\forall i\in I, \ f_i \in \mathcal C(E,F_i) $
on se donne après une preuve de cette proposition on deux étapes.
Qu'on peut avoir $\mathcal T_E$ une topologie sur $E$ tel que :
$\mathcal T_E$ est la topologie moins fine telle que $\forall i\in I, \ f_i \in \mathcal C(E,F_i) $
et
$\mathcal T_E$ n'est pas initiale pour $(F_i, \mathcal T_{F_i}, f_i)_{i \in I}$
$E$ un ensemble, $(F, \mathcal T_F)$ un espace topologique.
Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille d'applications de $E$ dans $F$
Soit $\mathcal T_E$ la topologie moins fine telle que $\forall i\in I, \ f_i \in \mathcal C(E,F)$
La topologie $\mathcal T_E$ peut ne pas être initiale pour $(F_i=F, \mathcal T_{F_i}= \mathcal T_F, f_i)_{i \in I}$ ($\mathcal A = \{f_i , i \in I \}$)
D'hbitude la définition de la topologie initiale est :