Exercice sur les variables aléatoires discrètes

bestM

Bonjour

Je n'arrive pas à faire l'exercice suivant

Soit X une va complexe et $\lambda\not=0$ un complexe. Déterminer X pour que X et $\lambda$X aient même loi.

J'arrive à démontrer que si X est non nulle (p.s.) alors $\lambda$ est racine n-ième de l'unité. Après je coince.
Merci pour votre aide,
bestM

Poirot

Tu as fait le plus dur. Il reste à décomposer l'ensemble des atomes de $\mathbb P_X$ en orbites sous la multiplication par $\lambda$ pour conclure à l'existence de $z_1, \dots, z_r \in \mathbb C$ tel que $X = \lambda^k z_N$ où $k$ et $N$ sont indépendantes, uniformes dans $\{0, \dots, n-1\}$ et $\{1, \dots, r\}$ respectivement.

bestM

Bonsoir
OK Poirot. Pour la décomposition en orbites : le nombre est fini car la somme de leur probabilité doit être $\le 1$ ?
Comment montre-t-on que k et N sont indépendantes et uniformes ?

Poirot

Je suis allé vite, j'ai fait comme si $X$ ne prenait qu'un nombre fini de valeurs, et il n'y a pas de raison pour que $N$ soit uniforme. On doit plutôt avoir un nombre au plus dénombrable d'orbites, et $N$ suit une loi quelconque sur un ensemble d'entiers indexant les orbites. $k$ est uniforme et indépendante de $N$ car pour tout $m$ et $j$ convenables, $\mathbb P(X = \lambda^j z_N \mid N = m) = \mathbb P(k=j \mid N=m) = \mathbb P(k=j)$ ne dépend pas de $j$.

bestM

Il me semble que le nombre d'orbites ( de probabilité non nulle) doit être fini. En effet Si N désigne ce nombre (éventuellement $+\infty$), les orbites étant deux à deux disjointes, on note $(O(x_i))_{i\in [\![1,N]\!]})$ ces orbites . En supposant $\lambda$ racine $n$ième de l'unité,  on a
$\sum_{x\in X(\Omega)}P(X=x)=1 \ge \sum_{i\in [\![1,N]\!]}\:/\sum_{x\in O(x_i)} P(X=x) = n \sum_{i\in [\![1,N]\!]} P(X=x_i)$
ce qui conduit à une contradiction si $N$ est infini. Est-ce exact ?

Poirot

Avec $\lambda = 1$ il peut y avoir une infinité d'orbites ! Et même pour $\lambda \neq 1$. Je ne vois pas de contradiction dans ce que tu as écrit, il existe des séries infinies convergentes.

bestM

Oui c'est vrai. j'ai buggé
Merci,
bestM

P.2

Pas compris le mot 'discrètes' du titre.

Identifions $\R^2$ à $\C$. Écartons le cas $\Pr(X=0)>0$ pour simplifier et posons $U=X/\|X\|=e^{2i\pi \Theta}.$ Soit $G$  le sous-groupe multiplicatif engendré par $\lambda$  du groupe $T=\{e^{i\theta}\mid  \theta\in \R\}.$ S'il est de la forme $(e^{2i\pi k/n})$ avec $k=0,\ldots, n-1$ alors la loi de $U$ est arbitraire sur l'arc $A=\{e^{2i\pi/n\theta}\mid 0\leq \theta<1\}$ et recopiée sur les $n-1$ autres arcs, La loi de $X$ est arbitraire sur le cône convexe $A\times ]0,\infty[$ et recopiée par rotation.

Si $G$ est infini il est dense dans le groupe $T.$ Donc $X\sim e^{i\theta}X$ pour tout $\theta\in \R$ (cela se voit par continuité de la fonction caractéristique de $X$ dans $\R^2$). Il est clair que $U$ est uniforme dans $T.$ Et donc $\mathbb{E}(U^k)=0$ si $k$ est un entier non nul (et égal à 1 si $k=0.$

Montrons alors $U$ est  indépendant de $R.$ Soit $V$ uniforme sur $T$ et indépendant de $X$. On a donc $X\sim VX.$ Pour tous $ t\in \R$ et tout entier $k\neq 0$ $$\mathbb{E}(U^kR^{it})= \mathbb{E}(V^kU^kR^{it})=\mathbb{E}(V^k)\mathbb{E}(U^kR^{it})=0=\mathbb{E}(U^k)\mathbb{E}(R^{it})$$ ce qui montre l’indépendance de $U$ et $R,$ lequel a une loi arbitraire.

bestM

Merci beaucoup
bestM