Loi sans mémoire
Bonjour
Soit $X$ une variable aléatoire sans mémoire, c'est-à-dire que :
En posant $\phi(x) = \mathbb P( X > x) = 1 - F_X(x)$ pour tout $x > 0$, on arrive rapidement à la relation
$$\phi(t+h) = \phi(t)\,\phi(h)$$ valable pour pour tous $t,h>0$ et en dérivant par rapport à $h$ on obtient
$$\phi'(t+h) = \phi(t)\,\phi'(h)$$ Bien sûr, j'aimerais maintenant prendre $h=0$ pour obtenir une simple équation différentielle sur $\phi$ mais aucune des hypothèses ne permet de passer à la limite $h \to 0^+$...
Comment peut-on conclure ici ? Merci !
Soit $X$ une variable aléatoire sans mémoire, c'est-à-dire que :
- $\mathbb P(X > x) > 0$ pour tout $x > 0$;
- $\mathbb P(X > t+h \mid X > t) = \mathbb P( X > h)$ pour tous $t,h>0$.
- nulle sur $\mathbb R_-$, strictement positive sur $\mathbb R^*_+$;
- continue sur $\mathbb R$;
- dérivable sur $\mathbb R^*_+$.
En posant $\phi(x) = \mathbb P( X > x) = 1 - F_X(x)$ pour tout $x > 0$, on arrive rapidement à la relation
$$\phi(t+h) = \phi(t)\,\phi(h)$$ valable pour pour tous $t,h>0$ et en dérivant par rapport à $h$ on obtient
$$\phi'(t+h) = \phi(t)\,\phi'(h)$$ Bien sûr, j'aimerais maintenant prendre $h=0$ pour obtenir une simple équation différentielle sur $\phi$ mais aucune des hypothèses ne permet de passer à la limite $h \to 0^+$...
Comment peut-on conclure ici ? Merci !
Réponses
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BonjourEt si tu considères $\ln(\phi)$ sur $\mathbb R_+^*$ ? J'ai l'impression que la dérivabilité est même superflue.
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La suite de l'exercice est justement de traiter le cas où $F_X$ est seulement continue sur $\mathbb R$, donc j'imagine qu'il faut ici utiliser l'hypothèse de dérivabilité...
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Je trouve plus simple de se passer de la dérivabilité ! Après, si tu veux te compliquer la vie, libre à toi !Indication : exprimer $\ln(\phi(r))$ est fonction de $\ln(\phi(1))$ pour $r>0$ rationnel.
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Bah ce n'est pas moi qui rédige les énoncés... La suite de l'exercice consiste exactement à faire ce que tu proposes...
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Personne ne peut te reprocher de résoudre la question sans utiliser une hypothèse inutile.
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Avec l'hypothèse de dérivabilité, on peut dériver par rapport à $t$ et $h$ pour obtenir :
$$\phi'(t) \phi(h) = \phi'(t+h) = \phi(t) \phi'(h).$$
Pas besoin de prendre $h = 0$. -
Ha oui merci ! On peut s'en sortir comme ça.
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Bonjour!
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