Je ne comprends pas du tout ce que vaut ton $\widehat{a}$. Isole correctement le $a$ et c'est bon. La formule toute faite que tu sors est correcte mais on te demande de la redémontrer de toute façon donc peu importe. Pour $U$ normalisé, je te laisse finir du coup ou c'est bon ?
Mais comment ça fort en estimation ? Il faut résoudre $S'(a)=0$, c'est-à-dire résoudre une équation du 1er degré ! Tu penses pouvoir faire ça ou pas ? Je ne sais pas si je suis fort en estimation, mais ça en tout cas, je sais le faire.
Le calcul je l'ai déjà écrit plus haut, je dis simplement que je ne vois pas comment trouver l'estimateur $\hat{a}$ en fonction de $a$ puisque la valeur de $\hat{a}$ est calculée comme zéro de la fonction $S'(a)$. Je pense avoir une erreur dans la définition de mon estimateur, là est la question.
Je ne vois pas mon erreur en partant d'ici : $S'(a)= \sum_{i=1}^n 2a.X_i^2-2X_i.Y_i+2U_i.X_i=0$.
Evite de modifier tes messages. Je ne le vois pas forcément, je n'ai pas de notification que tu as actualisé le topic et c'est moins clair pour les lecteurs externes. Fais plutôt un nouveau message et avant de publier, tu as un bouton aperçu.
Tu sais manipuler $\sum$ quand même ? Déjà, la variable muette n'est pas bonne. Ensuite, on peut sortir le $a$ par linéarité, simplifier par $2$, passer le reste à droite... En gros, j'ai l'impression que tu as simplifié par $X_i$ ce qui est assez horrible à ce stade de l'exo et ce qui ne donne pas du tout une bonne impression sur tes capacités mathématiques (on n'est pas vraiment sur une erreur d'étourderie là).
Petite question car j'avoue être peut-être trop dur, ne te connaissant pas : quel âge as-tu et quel est ton niveau/parcours ? J'ai vu que tu envisageais l'agreg interne donc tu es certifié c'est cela ?
Le problème est que j'ai des Gateway Timeout qui ne prennent pas en compte des messages. Donc c'est sûr il y a des croisements de messages.
Après j'ai sorti le '$a$' de ma somme j'ai factorisé ... Il me semble que ce que j'ai fait est trivial. Voilà.
J'ai factorisé les $X_i$ en effet sans me soucier du $X_i=0$. Sinon on crée un sous-ensemble $J$ des indices où $X_j \neq 0$.
Ensuite qui je suis peu importe, la probabilité que nous nous connaissions est proche de 0. À 8h45 j'ai réécris ma dérivée, donc je pars de là puisqu'on est d'accord.
Donc si tu as compris pourquoi on ne peut PAS simplifier par $X_i$, je te laisse reprendre et finir la question.
Évidemment qu'on ne se connait pas, je ne veux pas ton nom. Je cherche à savoir si je m'adresse à un étudiant de L1, à un étudiant de prépa, à un étudiant de master, à un certifié, à un agrégatif. Il est clair que je peux pardonner certaines choses à certains niveaux et moins à d'autres. Tu affirmes $\sum_i a_i b_i = 0 \implies \sum_i b_i = 0$ donc excuse-moi de te demander un peu de détails, tu as le droit de ne pas répondre ou au pire de dire "je suis fatigué".
Tu n'as pas fait sortir le $a$ par linéarité, tu n'as fait passer le reste à droite et pas besoin de ton ensemble $I$. $\widehat{a}$ ne doit pas dépendre de $a$, $\widehat{a}$ est un estimateur de $a$, on se sert de cette formule pour approcher $a$ qu'on ne connait pas dans la vraie vie donc il ne faut pas qu'il dépende de $a$.
Je te laisse reprendre avec quelqu'un d'autre, qui n'a pas besoin d'être "fort" en estimation, juste d'être très patient. Tu ne suis pas les conseils (ou tu ne les comprends pas) mais même recopier wiki, tu ne t'en ai pas donné la peine. Vu tes questions, visiblement, tu n'as pas une assez bonne connaissance du cours. Va lire un cours d'estimateurs statistiques. Si tu ne fais plus des maths que pour le plaisir et que tu n'as plus de pression de concours ou de besoins de résultats, je peux comprendre ta nonchalance mais ça ne donne guère envie de t'aider. Je ne vais pas te sermonner davantage, ça serait sûrement inutile. Simplement, si tu veux des exos corrigés, je pense que tu peux en trouver à foison en ligne. Tu m'as quand même dit à un moment "je ne sais pas quoi faire" devant la question "minimiser en $c$ une fonction $f(c)$" avant de te reprendre. A ce stade-là, je me suis quand même demandé si tu ne te moquais pas un peu du monde pour rester poli. Visiblement, je ne suis pas le premier à te répondre et qui ne vais pas réitérer l'effort de sitôt. En oral de concours, en ne suivant pas l'indication du prof au bout de 3 fois (ou sans rien essayer), je sortais de la salle sur le champ avec un joli 2/20. Tu m'as aussi sorti "quelqu'un peut m'aider qui s'y connait en estimateur ?" alors que j'étais activement en train de t'aider toute la soirée d'hier... comme si j'étais incompétent ou que je t'agaçais et que tu cherchais à m'ignorer. J'ai trouvé ça particulièrement méprisant.
Pour ma part, j'ai déjà assez donné sur ce forum avec Oshine pour revivre ça donc j'arrête là personnellement. Bon courage.
Ok, je veux bien être le pire sur ce forum, avec Oshine ou qui tu veux, mais j'ai avancé autant que j'ai pu.
Ce que je dis, c'est que l'énoncé stipule que $\hat{a}$ se calcule avec $a$, $X_i$, $U_i$. Voilà j'ai répondu à nombre de questions, mais ta réponse n'a pas la forme souhaitée de l'énoncé. C'est tout ce que je dis. Je pense qu'il faut transformer les $Y_i$ par la formule originelle pour réinjecter le $a$, je pense avoir compris.
Bon je retourne à ma meuleuse, je referai des maths plus tard ce soir. Et entre temps m'occuper de mes gosses ... Ah oui j'ai conseil de classe aussi ! Tu vois une vie bien chargée. Merci pour ton aide j'ai bien avancé, je n'ai jamais dénigré qui que ce soit sur ce forum. J'irai jusqu'au bout de mon exo. A+
Bon ok, erreur d'énoncé, c'était sûrement "en fonction de $Y_i, U_i$ et $X_i$" (et non pas a). Mais tu écris quand même des grosses bêtises parce tu ne trouves pas comme l'énoncé. Ecris des choses avec la plus grande rigueur possible et ensuite, on verra si c'est comme dans l'énoncé ou pas (erreur à l'agreg interne cette année en analyse je rappelle). Si le sujet est faux, mais que tu écris un truc faux, il y a tort des 2 côtés... mais c'est au candidat de briller, pas à l'examinateur ou au concepteur du sujet.
Je ne dis pas que tu n'as pas une vie chargée. Je dis que tu réponds sans réel investissement, de façon très passive, en plus du fait que tu fais des erreurs très grossières souvent. Tu peux faire un seul message par jour s'il est très qualitatif, je n'y verrai aucun problème mais ce n'est pas le cas. Et si tu es prof de maths, de sucroit, tu as mon estime et mon admiration pour te replonger là-dedans après peut-être de nombreuses années mais je peux difficilement t'excuser par moments, justement parce que tu es prof de maths donc tu ne peux pas me demander comment on trouve le minimum d'une fonction et pourquoi on ne peut pas simplifier par $a_i$ dans $\sum_i a_i b_i =0$, tu comprends ?
Bien, nous continuons sur la Q6b. On veut montrer que $\forall \epsilon > 0$, $\ \lim_{N \mapsto +\infty} \mathbb{P}(|\widehat{a_N}-a| > \epsilon) = 0$ dans le cas de la convergence.
Contrairement à ce que je supputais avant, si on remplace dans l'expression de $a_N$ donnée par @Alexique $Y_i$ par $aX_i+U_i$ on tombe directement sur $\widehat{a_N}=a$. Ce qui me pose à réfléchir. Allez à ce soir pour la suite !
Une autre piste est l'inégalité de Bienaimé-Tchebychev, avec calcul de la variance ... L'égalité de Huyguens est aussi à considérer : $\mathbb{E}((|\widehat{a_N}-a|^2)=\mathbb{V}(\widehat{a_N})+(a-\mathbb{E}(\widehat{a_N}))^2$
Après on peut se poser la question d'utiliser les résultats des premières questions.
Donc par où commencer ? Déjà commencer à calculer l'espérance ou la variance d'un quotient semble impossible.
En fait la question ici est : l'estimateur est-il convergent ? Je ne vois pas pourquoi on n'aurait pas convergence.
Pour étudier les propriétés d'un estimateur il faut savoir calculer son espérance à minima et sa variance. $\mathbb{E}(\widehat{a_N})= \mathbb{E}(( \sum_{i=1}^n X_i.Y_i - X_i.U_i)/\sum_{i=1}^n X_i^2)=\frac{1}{\sum_{i=1}^n X_i^2}.\sum_{i=1}^n (\mathbb{E}[X_i.Y_i] - \mathbb{E}[X_i.U_i])$
L'idée c'est aussi d'utiliser Q1.
$\mathbb{E}[X_i.U_i]=0$ par indépendance et $U$ est centrée.
L'inégalité de Bienaimé-Tchebychev : il faut un n au dénominateur, pour la limite de n en l'infini, donc cette méthode ne marche pas. Le pb ici est l'estimation de la somme des $X_i$, peut-être trouver un équivalent qd n est grand de cette somme.
Tu vois @Alexique que je cherche et que je ne fais pas semblant. Et pourtant le $\widehat{a_N}= \frac{ \sum_{i=1}^n (X_i.Y_i - X_i.U_i)}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)}= \frac{ (\sum_{i=1}^n X_i.(a.X_i+U_i) - X_i.U_i)}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)}= \frac{ \sum_{i=1}^n a.X_i^2}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)}=a$ est expéditif mais ne me convient pas. Ce serait une cvg presque sûre donc en probas d'où la convergence.
J'ai dit que j'arrêtais de répondre donc je m'y tiens. Juste, tu ne peux pas sortir par linéarité le facteur $\frac{1}{\sum_i X_i^2}$ de l'espérance : c'est ALEATOIRE !!!!!! Tu continues d'écrire des énormités.
$\widehat{a_n}$ est fait avec les variables $X_i$, $U_i$ et $Y_i$ et tu connais les lois de tout ce beau monde donc à toi de jouer. L'inégalité de Tchebychev ou celle de Markov peut servir en effet.
Ok donc la première partie ne sert à rien. La question 7, c'est un peu une question de cours. C'est assez facile et indépendant du reste, comme une question bonus.
Je pense qu'on peut trouver un équivalent des facteurs que j'ai sorti.
Si je ne peux pas sortir ces facteurs, c'est ce que je pensais au début, mais tenter d'utiliser Q1 me plaisait.
Dans ce cas je ne vois pas dans le cours comment calculer explicitement l'espérance ou la variance de $a_N$. Rien sur les quotients de va.
Comment calculer l'espérance mis à part avec mon calcul $a_N=a$ ?
Si je connais les lois des $X_i$ et compagnie, je ne vais pas trouver la fr ? C'est trop compliqué avec ce quotient.
Oui mais tu ne peux pas écrire $E[a_i/b_i]=E[a_i]/E[b_i]$ c'est cela qui me gène. Ou alors avec $X_i^2 \leq 1$ ou $X_i \leq 1$ on encadre le dénominateur et on sort une constante. Je ne vois pas d'autres idées si on se lance là-dedans.
Je veux bien dire que je suis rouillé, mais ce n'est pas si simple. Car on aura une inégalité sur l'espérance et pas une égalité. llorteLEG. Là on a ignoré le dénominateur donc on n'a pas de réponse.
@LeVioloniste : tu peux me mentionner mais pas déformer mes propos. Ce que tu as écris est faux mais ce n'est pas la démarche que suggère @llorteLEG que je salue.
Quel théorème utilise-t-il ici ? Peux-tu le citer, l'énoncé clairement, vérifier ses hypothèses, bref faire des mathématiques quoi ? Il faut un théorème qui dit "tiens, si j'ai des va iid d'espérance $m$, la moyenne converge vers $m$", quel théorème dit ça ? Je te le redis, si tu as un cours, ouvre le et bosse le. Sinon trouve en un et vite, on parle dans le vide, on n'est pas là pour te faire un cours de proba pour un étudiant de licence quoi, zut !
llorteLEG a dit : Même chose pour le dénominateur.
Je traduis puisque tu n'as pas compris. Ça veut dire "J'ai déjà fait la moitié du boulot en plus de te donner l'idée, à ton tour de te bouger les fesses et de faire la même chose pour le dénominateur". Qu'as-tu fait en 3 messages ? RIEN. Fais les choses et tu comprendras ensuite pourquoi ça marche. Si tu ne fais rien, tu ne comprends jamais rien, ça c'est sûr.
Une fois que tu auras montré que le numérateur converge, que le dénominateur aussi, peut-être que tu pourras justifier que le quotient converge en proba,... avec un théorème de cours, encore une fois ! On n'est pas brillant, simplement on connait notre cours. Tout comme beaucoup de gens, tu n'es pas brillant mais comme beaucoup de gens pas brillants qui ne réussissent pas à faire l'exo, tu ne connais pas ton cours. Perso, je ne suis pas brillant donc j'apprends mon cours et je l'applique et j'arrive à faire l'exo. Tu peux nous mettre en lien ici un cours que tu utilises, que tu connais qui serait associé à cet exo ? Ou tu choisis des exos comme ça au pif et tu viens en touriste les poster ici sans rien connaitre des notions impliquées dedans ? Et puis tu n'es pas là sur table en examen en temps limité tout seul devant ta copie, tu as le temps, tu as le droit à des bouquins, à internet... Et même dans ces conditions là, tu nous fais des réponses laxistes.
Tu es prof et tu as des élèves, faisons un petit parallèle. À la consigne "tracer un triangle de côté 2cm et d'angles adjacents 30° et 60°", toi, tu ne traces rien (même pas un segment de longueur 2cm) et tu dis "on ne peut pas tracer un triangle sans connaitre les longueurs de ses 3 côtés..." parce que tu ne connais pas ton cours et que tu n'es pas brillant. Donc forcément oui, ça m'énerve que tu ne fasses pas ce qu'on te dit de faire et que tu te défausses en disant "ça va pas marcher" alors que si on t'aide, c'est qu'on sait que ça marche, tandis que toi, tu n'en sais absolument rien. Pourquoi du coup si nous on sait et pas toi, tu ne nous écoutes pas et tu ne fais pas ce qu'on te dit, bon sang ?? Tu es presque en train de dire "nan, mais moi je sais que ce que vous dites, ça ne marche pas, j'ai raison"... Donc si, je te le dis, tu es sans t'en rendre compte peut-être, méprisant et si certaines personnes ne veulent plus t'aider, tu sais pourquoi. Tes exos ne sont pas durs. Mais juste, tu ne veux pas te casser une jambe...ni un doigt, ni un ongle en tapant sur ton clavier.
Attention @Alexique je ne suis pas sûr que si $X_n$ tend en proba vers $X$ et $Y_n$ en proba vers $Y$ alors $X_n/Y_n$ tend en proba vers $X/Y$ J'ai pas de contre-exemple en tête mais je suis quasi sûr que c'est faux. J'utilise juste un truc un peu plus fort que la convergence en proba où là je sais que c'est vrai. Peut-être pour des convergences vers une constante ça marche avec Slutsky mais on a vite fait de se perdre.
@llorteLEG Je te réponds en MP pour ne pas faire tout le boulot à la place de @LeVioloniste Edit : j'ai modifié mon dernier message conformément à la remarque de llorteLEG.
Voilà je ne vois pas comment aller plus loin dans le calcul de l'espérance. Je pense qu'on peut faire qqch mais je ne vois pas !
Maintenant revenons à ce qui est suggéré de manière insistante par les 2 artistes :
Déjà il faudrait appliquer ce théorème pour travailler sur un quotient :
Soit $f : \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ uniformément continue et si $(A_n)$ et $(B_n)$ sont des suites de va qui convergent en probas vers les va $A$ et $B$ alors $f(A_n,B_n) \mapsto f(A,B)$ en probas.
Ce théorème est dans le livre de Lecoutre, il n'existe pas dans d'autres livres que j'ai pu lire en probas.
Ici $f(x,y)=\frac{x}{y}$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}^2$ je veux traiter cela plus tard.
Avec Q1, $\mathbb{E}[X_i.U_i]=0$ par indépendance et $U$ est centrée. $\mathbb{E}[X_i.Y_i]=ap$ alors $\mathbb{E}( \sum_{i=1}^n (X_i.Y_i - X_i.U_i) = \sum_{i=1}^n ap = nap$
Or $\mathbb{E}( X_1^2)=0^2.\mathbb{P}(X_1=0)+1^2.\mathbb{P}(X_1=1)=p$ (théorème de transfert version discrète)
Donc $\mathbb{E}(\sum_{i=1}^n X_i^2)=np$.
Maintenant je vais utiliser la LFaibleGN : on a une suite de va iid, qui admet une espérance on a : la moyenne des va cvg vers l'espérance d'une va (la première) :
Puis en utilisant mon théorème (un avatar de Slutsky), avec la fonction quotient, sachant que p est non nul on conclut que $\widehat{a_N} \mapsto (ap)/p=a$ en probas.Est-il possible de trouver une solution avec le calcul de l'espérance ? Il y a un post récent sur le calcul d'un quotient de somme de va.
Je serai très intéressé par cette piste si elle marche.
Q6c Il s'agit de construire une loi centrée réduite.
Soit $Z_n=\frac{\widehat{a_N}-\mathbb{E}( \widehat{a_N} ) } {\mathbb{V}(\widehat{a_N}) }$. Et ensuite d'appliquer le TCL à condition que la variance et l'espérance des lois sommées existent. La question ici est que $a_N$ n'a pas la forme d'une moyenne empirique, donc ce n'est peut-être pas la bonne méthode. Le souci est que je n'ai pas les formules de l'espérance et de la variance de $\widehat{a_N}$. Alors que la question 'pue' le TCL. Donc je vais chercher autre chose.
C'est une loi de Bernoulli, on a $X_{\bullet}(X_1,\dots,X_n)$ un échantillon prenant les valeurs $(x_1,\dots,x_n)$
$\mathbb{P}(X=x)=p^x.(1-p)^x$ avec $x \in \{0,1\}$.
Avec la méthode des moments on prend comme estimateur $T(X_{\bullet})=\frac{1}{n}.\sum_{k=1}^n X_k = \overline{X_n}$
Sinon avec la méthode du maximum de vraisemblance :
$L(x_1,\dots,x_n;p)=p^{S_n}.(1-p)^{n-S_n}$ avec $S_n=\sum_k x_k$ avec les $x_i$ des nombres binaires.
On passe au log $\ln(L)=S_n\ln(p) + (n-S_n)\ln(1-p)$ puis $d\ln(L)/dp=S_n/p+(n-S_n)\frac{-1}{1-p}=0$ alors $\frac{S_n}{n-S_n}=\frac{p}{1-p}$ donc $\widehat{p}=\frac{S_n}{n}=\overline{X_n}$.
On vérifie que $d^2 \ln(L)/dp^2=-S_n/p^2-(n-S_n)/(1-p)^2<0$ prouve la concavité donc que c'est bien un $\max$.
Pour estimer $\sigma^2$
Avec la méthode du maximum de vraisemblance : je note $v$ le '$\sigma^2$
@noobey la convergence ps est possible à condition de justifier l'existence du moment d'ordre 2, ce que je n'ai pas fait. Je n'ai justifié que l'existence de l'espérance. Donc j'ai utilisé la version faible.
Réponses
Pour $U$ normalisé, je te laisse finir du coup ou c'est bon ?
Tu sais manipuler $\sum$ quand même ? Déjà, la variable muette n'est pas bonne. Ensuite, on peut sortir le $a$ par linéarité, simplifier par $2$, passer le reste à droite... En gros, j'ai l'impression que tu as simplifié par $X_i$ ce qui est assez horrible à ce stade de l'exo et ce qui ne donne pas du tout une bonne impression sur tes capacités mathématiques (on n'est pas vraiment sur une erreur d'étourderie là).
Petite question car j'avoue être peut-être trop dur, ne te connaissant pas : quel âge as-tu et quel est ton niveau/parcours ? J'ai vu que tu envisageais l'agreg interne donc tu es certifié c'est cela ?
Évidemment qu'on ne se connait pas, je ne veux pas ton nom. Je cherche à savoir si je m'adresse à un étudiant de L1, à un étudiant de prépa, à un étudiant de master, à un certifié, à un agrégatif. Il est clair que je peux pardonner certaines choses à certains niveaux et moins à d'autres.
Tu affirmes $\sum_i a_i b_i = 0 \implies \sum_i b_i = 0$ donc excuse-moi de te demander un peu de détails, tu as le droit de ne pas répondre ou au pire de dire "je suis fatigué".
$\sum_{i=1}^n X_i(2a.X_i -2Y_i+2U_i)=0$
$\sum_{i \in I} X_i(2a.X_i -2Y_i+2U_i)=0$ avec $I=\{i \in [[1,n]] \mid X_i \neq 0 \}$
$\sum_{i \in I} (a.X_i -Y_i+U_i)=0$.
Bon, allez j'abandonne.
$S'(a)=0 \implies a \sum_i X_i^2 = \sum_i X_i Y_i - U_i X_i \implies \widehat{a}=\dfrac{\sum_i X_i (Y_i - U_i) }{\sum_i X_i^2}$
Je te laisse reprendre avec quelqu'un d'autre, qui n'a pas besoin d'être "fort" en estimation, juste d'être très patient. Tu ne suis pas les conseils (ou tu ne les comprends pas) mais même recopier wiki, tu ne t'en ai pas donné la peine. Vu tes questions, visiblement, tu n'as pas une assez bonne connaissance du cours. Va lire un cours d'estimateurs statistiques. Si tu ne fais plus des maths que pour le plaisir et que tu n'as plus de pression de concours ou de besoins de résultats, je peux comprendre ta nonchalance mais ça ne donne guère envie de t'aider. Je ne vais pas te sermonner davantage, ça serait sûrement inutile. Simplement, si tu veux des exos corrigés, je pense que tu peux en trouver à foison en ligne.
Tu m'as quand même dit à un moment "je ne sais pas quoi faire" devant la question "minimiser en $c$ une fonction $f(c)$" avant de te reprendre. A ce stade-là, je me suis quand même demandé si tu ne te moquais pas un peu du monde pour rester poli. Visiblement, je ne suis pas le premier à te répondre et qui ne vais pas réitérer l'effort de sitôt. En oral de concours, en ne suivant pas l'indication du prof au bout de 3 fois (ou sans rien essayer), je sortais de la salle sur le champ avec un joli 2/20. Tu m'as aussi sorti "quelqu'un peut m'aider qui s'y connait en estimateur ?" alors que j'étais activement en train de t'aider toute la soirée d'hier... comme si j'étais incompétent ou que je t'agaçais et que tu cherchais à m'ignorer. J'ai trouvé ça particulièrement méprisant.
Pour ma part, j'ai déjà assez donné sur ce forum avec Oshine pour revivre ça donc j'arrête là personnellement.
Bon courage.
C'est tout ce que je dis.
Je pense qu'il faut transformer les $Y_i$ par la formule originelle pour réinjecter le $a$, je pense avoir compris.
Tu vois une vie bien chargée.
Merci pour ton aide j'ai bien avancé, je n'ai jamais dénigré qui que ce soit sur ce forum. J'irai jusqu'au bout de mon exo.
A+
Je ne dis pas que tu n'as pas une vie chargée. Je dis que tu réponds sans réel investissement, de façon très passive, en plus du fait que tu fais des erreurs très grossières souvent. Tu peux faire un seul message par jour s'il est très qualitatif, je n'y verrai aucun problème mais ce n'est pas le cas. Et si tu es prof de maths, de sucroit, tu as mon estime et mon admiration pour te replonger là-dedans après peut-être de nombreuses années mais je peux difficilement t'excuser par moments, justement parce que tu es prof de maths donc tu ne peux pas me demander comment on trouve le minimum d'une fonction et pourquoi on ne peut pas simplifier par $a_i$ dans $\sum_i a_i b_i =0$, tu comprends ?
On veut montrer que $\forall \epsilon > 0$, $\ \lim_{N \mapsto +\infty} \mathbb{P}(|\widehat{a_N}-a| > \epsilon) = 0$ dans le cas de la convergence.
Allez à ce soir pour la suite !
L'égalité de Huyguens est aussi à considérer : $\mathbb{E}((|\widehat{a_N}-a|^2)=\mathbb{V}(\widehat{a_N})+(a-\mathbb{E}(\widehat{a_N}))^2$
Déjà commencer à calculer l'espérance ou la variance d'un quotient semble impossible.
$\mathbb{E}(\widehat{a_N})= \mathbb{E}(( \sum_{i=1}^n X_i.Y_i - X_i.U_i)/\sum_{i=1}^n X_i^2)=\frac{1}{\sum_{i=1}^n X_i^2}.\sum_{i=1}^n (\mathbb{E}[X_i.Y_i] - \mathbb{E}[X_i.U_i])$
$\mathbb{V}(\widehat{a_N})= \mathbb{V}(( \sum_{i=1}^n X_i.Y_i - X_i.U_i)/\sum_{i=1}^n X_i^2)=\frac{1}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}.\sum_{i=1}^n (\mathbb{V}[X_i.Y_i] - \mathbb{V}[X_i.U_i])$
Le pb ici est l'estimation de la somme des $X_i$, peut-être trouver un équivalent qd n est grand de cette somme.
Et pourtant le $\widehat{a_N}= \frac{ \sum_{i=1}^n (X_i.Y_i - X_i.U_i)}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)}= \frac{ (\sum_{i=1}^n X_i.(a.X_i+U_i) - X_i.U_i)}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)}= \frac{ \sum_{i=1}^n a.X_i^2}{(\sum_{i=1}^n X_i^2)}=a$ est expéditif mais ne me convient pas. Ce serait une cvg presque sûre donc en probas d'où la convergence.
Cela fait penser au TCL, au théorème de la limite d'une suite image.
La caractérisation par la fonction de répartition ne marche pas ici.
Juste, tu ne peux pas sortir par linéarité le facteur $\frac{1}{\sum_i X_i^2}$ de l'espérance : c'est ALEATOIRE !!!!!! Tu continues d'écrire des énormités.
Donc $\frac{1}{n} \sum_i X_i (Y_i - U_i) \to ap$
Même chose pour le dénominateur.
Ou alors avec $X_i^2 \leq 1$ ou $X_i \leq 1$ on encadre le dénominateur et on sort une constante.
Je ne vois pas d'autres idées si on se lance là-dedans.
llorteLEG. Là on a ignoré le dénominateur donc on n'a pas de réponse.
Quel théorème utilise-t-il ici ? Peux-tu le citer, l'énoncé clairement, vérifier ses hypothèses, bref faire des mathématiques quoi ? Il faut un théorème qui dit "tiens, si j'ai des va iid d'espérance $m$, la moyenne converge vers $m$", quel théorème dit ça ? Je te le redis, si tu as un cours, ouvre le et bosse le. Sinon trouve en un et vite, on parle dans le vide, on n'est pas là pour te faire un cours de proba pour un étudiant de licence quoi, zut !
Même chose pour le dénominateur.
Une fois que tu auras montré que le numérateur converge, que le dénominateur aussi, peut-être que tu pourras justifier que le quotient converge en proba,... avec un théorème de cours, encore une fois ! On n'est pas brillant, simplement on connait notre cours. Tout comme beaucoup de gens, tu n'es pas brillant mais comme beaucoup de gens pas brillants qui ne réussissent pas à faire l'exo, tu ne connais pas ton cours. Perso, je ne suis pas brillant donc j'apprends mon cours et je l'applique et j'arrive à faire l'exo. Tu peux nous mettre en lien ici un cours que tu utilises, que tu connais qui serait associé à cet exo ? Ou tu choisis des exos comme ça au pif et tu viens en touriste les poster ici sans rien connaitre des notions impliquées dedans ? Et puis tu n'es pas là sur table en examen en temps limité tout seul devant ta copie, tu as le temps, tu as le droit à des bouquins, à internet... Et même dans ces conditions là, tu nous fais des réponses laxistes.
Tu es prof et tu as des élèves, faisons un petit parallèle. À la consigne "tracer un triangle de côté 2cm et d'angles adjacents 30° et 60°", toi, tu ne traces rien (même pas un segment de longueur 2cm) et tu dis "on ne peut pas tracer un triangle sans connaitre les longueurs de ses 3 côtés..." parce que tu ne connais pas ton cours et que tu n'es pas brillant. Donc forcément oui, ça m'énerve que tu ne fasses pas ce qu'on te dit de faire et que tu te défausses en disant "ça va pas marcher" alors que si on t'aide, c'est qu'on sait que ça marche, tandis que toi, tu n'en sais absolument rien. Pourquoi du coup si nous on sait et pas toi, tu ne nous écoutes pas et tu ne fais pas ce qu'on te dit, bon sang ?? Tu es presque en train de dire "nan, mais moi je sais que ce que vous dites, ça ne marche pas, j'ai raison"... Donc si, je te le dis, tu es sans t'en rendre compte peut-être, méprisant et si certaines personnes ne veulent plus t'aider, tu sais pourquoi. Tes exos ne sont pas durs. Mais juste, tu ne veux pas te casser une jambe...ni un doigt, ni un ongle en tapant sur ton clavier.
J'ai pas de contre-exemple en tête mais je suis quasi sûr que c'est faux. J'utilise juste un truc un peu plus fort que la convergence en proba où là je sais que c'est vrai.
Peut-être pour des convergences vers une constante ça marche avec Slutsky mais on a vite fait de se perdre.
Je te réponds en MP pour ne pas faire tout le boulot à la place de @LeVioloniste
Edit : j'ai modifié mon dernier message conformément à la remarque de llorteLEG.
Il s'agit de construire une loi centrée réduite.
Et ensuite d'appliquer le TCL à condition que la variance et l'espérance des lois sommées existent.
La question ici est que $a_N$ n'a pas la forme d'une moyenne empirique, donc ce n'est peut-être pas la bonne méthode.
Le souci est que je n'ai pas les formules de l'espérance et de la variance de $\widehat{a_N}$. Alors que la question 'pue' le TCL.
Donc je vais chercher autre chose.
Le dénominateur tend ps vers p
Et y a 0 problème
Pour estimer $p$
Je n'ai justifié que l'existence de l'espérance. Donc j'ai utilisé la version faible.
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=l/lgn.html