Négation

Lolo36

Bonjour

J'ai un doute sur la négation de la phrase : "Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$." 

Est-ce "Montrer qu'il existe un nombre fini d'entiers naturels $x$ tels que $\text{non}P(x)$" ? Si oui, pourquoi ne mettons-nous pas "Pour tout" pour la négation de "il existe" ? Merci. 

GaBuZoMeu

Bonsoir

La négation de la phrase est ""Ne pas montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$." 

Médiat_Suprème

La négation en français est "il existe un nombre fini d'entiers naturels tels qu $P(x)$".

Il suffit d'écrire cette phrase proprement en langage mathématique pour avoir la réponse mathématique.

J'ai supposé que "montrer que" (à l'infinitif) n'était pas concerné

Lolo36

Désolé j'ai pas été assez clair, en fait cette phrase est une consigne, et je veux raisonner par l'absurde en supposant la négation vraie.

NicoLeProf

Cela ressemble un peu à "il existe une infinité de nombres premiers" et pour le démontrer justement on suppose "qu'il existe un nombre fini de nombres premiers" il me semble ! ^^'

Lolo36

Médiat_Suprème a dit :

La négation en français est il existe un nombre fini d'entiers naturels tels qu $P(x)$.
Il suffit d'écrire cette phrase proprement en langage mathématique pour avoir la réponse mathématique

Oui en effet, donc on voit que lorsqu'on dit que la négation de "il existe" est "pour tout", cela ne s'applique pas de le langage en français, mais uniquement avec des quantificateurs. Car ici ça ne marche pas dans la phrase, on aurait dit "pour tout entier..." alors que c'est bien "il existe un nombre fini..."

Lolo36

NicoLeProf a dit :

Cela ressemble un peu à "il existe une infinité de nombres premiers" et pour le démontrer justement on suppose "qu'il existe un nombre fini de nombres premiers" il me semble ! ^^'

oui oui tout à fait

Médiat_Suprème

Le français n'est pas un langage logique, donc les règles logiques ne s'appliquent pas.

Essayez de traduire en termes mathématiques votre proposition.

Vassillia

Bonjour,
C'est peut-être moi qui comprend de travers mais en français le contraire de "montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels x tels que P(x)" ne me semble pas être "montrer qu'il existe un nombre fini d'entiers naturels x tels que P(x)"
En effet si on montre qu'il existe un nombre fini d'entiers naturels x tels que P(x) alors on peut peut-être montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels x tels que P(x). On n'en sait rien. C'est quand même embêtant que les 2 phrases soient compatibles. Il faudrait plutôt dire "montrer qu'il n'existe pas une infinité d'entiers naturels x tels que P(x)" ou alors on fait comme GaBuZoMeu et on ne démontre rien du tout, la phrase de départ n'avait qu'à être moins soumise à interprétation.

[Utilisateur supprimé]

Médiat_Suprème a dit :
Le français n'est pas un langage logique, donc les règles logiques ne s'appliquent pas.

Le français, l'anglais, le sanscrit, l'espagnol, l'allemand, l'arabe etc.

Bibix

Bonsoir, 
La négation de "il existe une infinité d'entiers naturels x tels que P(x)" est "il existe un entier naturel X tel que pour tout x > X, nonP(x)" ou "$\{x \mid x \in \mathbb{N}, P(x)\}$ est fini".

Médiat_Suprème

@Vassillia : Si vous avez montré qu'il y avait un nombre fini de ... et qu'il y avait un nombre infini de ..., c'est que vous vous êtes trompé quelque part

Médiat_Suprème

@turboLanding la prochaine fois qu'on s'adressera à moi en anglais, sanscrit, espagnol, allemand ou arabe, je commenterai sur ces langues si j'en ai les compétences, sinon, je me tairais.

Vassillia

Pas d'accord, pour moi, cela veut juste dire que l'ensemble infini contient l'ensemble fini et que je n'ai pas tout trouvé mais cela ne rend pas ma démonstration fausse. 
Il existe un ensemble fini qui a la propriété que tous ses éléments sont divisibles par 2 par exemple {2} 
Je peux le prouver mais évidement qu'il existe un ensemble plus grand qui a la propriété que tous ses éléments sont divisibles par 2. Le problème, c'est le "il existe" rien ne m'oblige à être exhaustive, en tout cas je le comprends ainsi. 

Médiat_Suprème

Démontrer : "il y a un nombre fini" a un sens (il n'y en a pas une infinité), qui n'est pas le même que "il y a au moins un nombre fini", qui de toute façon est équivalent à "il existe".

Comme je le dis depuis le début : il suffit d'écrire en langage mathématique.

Vassillia

En mathématiques, je ne dis pas le contraire et je pense qu'on sera d'accord mais justement en français, toi tu zappes le "il existe" alors que moi je m'attarde dessus et dans il existe, c'est forcément au moins un nombre fini. 

[Utilisateur supprimé]

Médiat_Suprème a dit :

@turboLanding la prochaine fois qu'on s'adressera à moi en anglais, sanscrit, espagnol, allemand ou arabe, je commenterai sur ces langues si j'en ai les compétences, sinon, je me tairais.

Même les silences n'ont rien de logique dans ces langues.

Médiat_Suprème

Si je voulais dire "il existe au moins un nombre fini", soit je le dirais ainsi, soit je dirais simplement "il existe", je n'irais pas chercher une formulation prêtant à confusion. 

Vassillia

Je te crois mais alors la formulation il existe un nombre fini prête vraiment à confusion pour moi car je l'interprète ainsi mais bon, c'est les joies du français et de toutes langues comme tu disais.

raoul.S

La version de GaBuZoMeu a l'avantage de pouvoir être prouvée rapidement : 

Ne pas montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$." 

Preuve :  $\square$

PS.

gerard0

Attention Vassillia, 0 est un nombre fini, donc "au moins un nombre fini" ne dit rien. 

Cordialement. 

samok

La négation de montrer c'est démontrer ?

(hipps !)

Vassillia

Oui bien sûr gerard0 mais je t'avoue que cela ne règle pas vraiment mon problème d'interprétation.
On est tous d'accord sur la manière d’interpréter la phrase initiale et sur ce qu'on doit faire dire à son contraire mathématiquement parlant, il se trouve qu'on ne l'exprime pas de la même manière en français mais ce n'est pas bien grave.

raoul.S

En français il n'y a pas de problème. On peut dire : il n'existe qu'un nombre fini d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$ ou bien l'ensemble des entiers naturels $x$ tels que $P(x)$ est fini.

gerard0

Ce n'est pas une question d'interprétation, mais de bon sens. "au moins un nombre fini de..." est toujours vrai. Il y a au moins un nombre fini de Pères Noël. 

Cordialement. 

Vassillia

Ce n'est pas faux mais il me parait quand même plus prudent de faire une phrase comme raoul.S pour être sûr de se faire comprendre car les logiciens aimant jouer avec l'ensemble vide, disons que ça ne m'étonne même pas de traduire des phrases qui ne sont pas très utiles.

gerard0

Tout à fait d'accord. 

Cordialement. 

[Utilisateur supprimé]

Lolo36 a dit :

Bonjour

J'ai un doute sur la négation de la phrase : "Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$

La négation de « il existe une infinité d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$ » est simplement : « il n'existe pas une infinité d'entiers naturels $x$ tels que $P(x)$ ». 

GaBuZoMeu

Ça peut être utile de formuler la négation de "Il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $P(n)$" sous la forme "il existe un entier naturel $p$ tel, que pour tout entier naturel $n > p$, non $P(n)$.

Bien sûr, la pertinence de cette formulation pour la démonstration en vue dépend de $P$.

GaBuZoMeu

PS. Je vois en remontant dans le fil que Bibix avait déjà écrit ça.

[Utilisateur supprimé]

Oui surtout sur un forum de mathématique.

GaBuZoMeu

À part ça,

"je veux raisonner par l'absurde en supposant la négation vraie"

est rarement une bonne idée.

Lolo36

Ah bon, on ne fait que ça en prépa.

Foys

Lolo36 a dit :

Ah bon, on ne fait que ça en prépa.

Non ils ne le font pas.
(1) Un raisonnement par l'absurde, c'est "on suppose $\neg X$, on aboutit à une contradiction, et on en conclut $X$".

(2) Un raisonnement par contraposition, c'est "on suppose $X$, on aboutit à une contradiction, et on en conclut $\neg X$".

La subtilité est la suivante : la négation n'est pas a priori involutive ! Ce qui fait qu'elle l'est est dû à l'emploi de la règle (1) qui est supposée en amont. Certains systèmes logiques (dits "intuitionnistes", ou parfois "constructivistes") ne le font pas. Bon les maths courantes de la majorité des usages le font, y compris ce qu'on voit en prépa. Les règles (1) et (2) ne sont pas équivalentes.

Lolo36

Je suis d'accord avec (1) donc je ne vois pas où est le problème de supposer la négation car c'est le point de départ de (1).
En logique classique, la négation est involutive, ce qui fait qu'on obtient (2) en remplaçant dans (1) X par non X.

Si je ne m'abuse, (1) se déduit directement de la table de vérité de l'implication (enfin comment moi je le vois, mais la vision est peut-être erronnée) : 

non X  Contradiction   non X -> Contradiction
V               V                              V
V               F                               F
F               V                               V
F               F                               V

L'implication étant vraie puisqu'on l'a construit, et l'élément qui constitue la contradiction est faux, donc il reste la dernière ligne, qui nous indique que non X est faux, donc en déduit X. 

Foys

En logique classique la négation est involutive parce qu'on suppose qu'on peut employer (1) librement.

Etant donné un énoncé $X$, $\neg \neg X$ est déjà syntaxiquement différente de $X$ (deux caractères en plus) et pour l'assimiler à $X$, il faut supposer (déclarer) quelque chose.

[Utilisateur supprimé]

Ok mais on peut préfèrer quand même savoir quand on emploie un raisonnement par l'absurde au sens de @Foys même en logique classique, car lorsqu'on utilise une démonstration par l'absurde, ne travaille peut-être pas avec ce qu'on appelle des constructions.

GaBuZoMeu

Ce que je veux dire spécifiquement, c'est que très souvent pour montrer que l'ensemble $E$ des entiers naturels $x$ tels que $P(x)$ est infini, on montre que pour tout entier naturel $p$ il existe un entier $n > p$ tel que $n\in E$. Ça ne servirait à rien de commencer pas supposer que $E$ est fini !

Martial

Je suis entièrement d'accord avec @GaBuZoMeu. Et pourtant la plupart des gens pensent qu'on fait un raisonnement par l'absurde pour démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers... Alors qu'il suffit de se donner un nombre premier $p$ et de prouver qu'il y a au moins un premier $q>p$. Mais ce sujet a déjà été débattu maintes fois dans le passé...

Foys

Martial a dit :

 Et pourtant la plupart des gens pensent qu'on fait un raisonnement par l'absurde pour démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers...

La plupart des gens pensent que la négation est par nature involutive et donc que n'importe quel énoncé est la négation d'un autre. D'où cette confusion.

Dom

La plupart des gens pensent que dès qu’ils obtiennent une contradiction alors c’est qu’ils ont effectué un raisonnement par l’absurde. 

Attention, sujet épuisé…

Math Coss

Épuisé ? Pas plus que le phénix qui sans cesse renaît de ses cendres...

Dom

Tu as raison. Un marronnier est justement le contraire.