Artin et géométrie symplectique

Georges Abitbol

Bonjour,
dans le livre d'Artin, Algèbre Géométrique, il y a un exercice (je n'ai plus la référence exacte) qui dit à peu près la chose suivante (je dis peut-être des bêtises).

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif $k$ (de caractéristique différente de $2$ ?). Soit $Gr(V)$ la grassmannienne complète, i.e. l'ensemble des sous-espaces de $V$. On appelle corrélation une bijection de $Gr(V)$ dans elle-même qui est décroissante pour l'inclusion. Soit $\mu$ un automorphisme de $k$. Soit $B$ une forme linéaire à droite et $\mu$-linéaire à gauche, non dégénérée ; alors l'application $F \mapsto \{y \ \vert \ \forall x \in F,\ B(x,y) = 0\}$ est une corrélation. Eh bien, pour toute corrélation, il existe un automorphisme $\mu$ de $k$ et une forme $B$ $\mu$-linéaire à gauche, linéaire à droite, telle que la corrélation est induite par $B$. De plus, si pour tout $x,y$, $B(x,y) = 0 \Rightarrow B(y,x) = 0$, la corrélation est d'ordre $1$ ou $2$, et réciproquement, toute forme bilinéaire donnant une corrélation d'ordre $1$ ou $2$ est comme ça.

Les formes telles que pour tout $x,y$, $B(x,y) = 0 \Rightarrow B(y,x) = 0$, elles sont soit "symétriques", soit "symplectiques". Il est demandé de caractériser géométriquement les formes corrélations venant de formes symplectiques, et j'aurais dit qu'une corrélation $f$ vient d'une forme symplectique si et seulement si, pour tout $F$, $F \subset f(F)$ ou $f(F) \subset F$ (EDIT : bof bof, cf. marco ci-dessous ; en fait, je vais plutôt dire : pour toute droite $F$, $F \subset f(F)$).

Enfin, il est demandé de justifier l'appellation "symplectique"... Et là, je n'en ai aucune idée. Des avis ?

john_john

Le Bailly est notre ami : συμπλεκτικός signifie propre à entrelacer. Terminologie peut-être due à un matheux un peu égrillard, comme celui qui a défini l'osculation   

marco

Les formes symplectiques sont plutôt caractérisées par le fait que $f$ admet un point fixe.

marco

En effet, si $B(x,y)=x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2$, alors $B$ est antisymétrique. Soit $F=Vect(e_1, e_2+e_3+e_4)$, alors la corrélation associée $f$ est telle que $f(F)=Vect(e_1+e_3, e_2+e_3)$, donc on n'a pas $f(F) \subset F$ ni $F \subset f(F)$.

Georges Abitbol

@john_john : Ah, j'avais lu ça sur wiki :

« The name “complex group” formerly advocated by me in allusion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more embarrassing through collision with the word “complex” in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective “symplectic”.

Le nom de « groupe complexe » que j'avais précédemment proposé, par allusion aux complexes de droites (car ils sont définis par l'annulation de formes bilinéaires antisymétriques), est devenu de plus en plus embarrassant à cause des confusions possibles avec l'usage de « complexe » dans l'expression « nombre complexe ». Je propose donc de le remplacer par l'adjectif grec correspondant « symplectique ». »

— Hermann Weyl, The classical Groups. Their Invariants and Representations

En tout cas, il s'agit de faire le lien avec la propriété géométrique. Pour le cercle osculateur, c'est effectivement celui qui embrasse le mieux la courbe et je comprends l'étymologie.

Georges Abitbol

@marco : Ben, les droites isotropes d'une forme quadratique de signature $(1,-1)$ sont leur propre orthogonal, non ? Donc il y a des géométries non symplectiques qui ont un point fixe... J'ai faux ?

EDIT : Oups, pas vu ta remarque ! Je te crois sans calcul, et je corrige ci-dessus !

marco

@Georges Abitbol. : Tu as raison, je me suis trompé pour la caractérisation.

Foys

Soit $K$ un corps (commutatif), $n\in \N$ et $f:K^{2n} \times K^{2n} \to K$ une forme bilinéaire antisymétrique (édité: le bon adjectif serait plutôt "alternée". On veut dire ici que pour tout $v\in K^{2n}$, $f(v,v)=0$. Lorsque $car(K)\neq 2$, cela équivaut à $f(x,y)=-f(y,x)$ pour tous $x,y$ dans l'espace ambiant) non dégénérée. Il existe alors une base $(e_1,...,e_{2n})$ telle que $f(e_i, e_{n+i}) = 1$ et pour tout $i\leq n$ et $f(e_i,e_j)=0$ pour tous $i,j$ tels que $i=j$ ou $i\neq j \mod n$.

Il existe (cela revient au même; il suffit de faire un changement de base permutant les coordonnées) une base $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_{2n})$ telle que pour tout $k\in \{1,..,n\}$, $f(\varepsilon_{2k},\varepsilon_{2k+1}) = 1$ et telle que pour tous $p,q\in \{1,...,n\}$ distincts et tous $r,s\in \{0,1\}$, $f(\varepsilon_{p+r},\varepsilon_{q+s}) = 0$.

Preuve (facile): faire une récurrence sur la dimension: pour l'étape de récurrence $f$ étant non dégénérée, il existe $x,y\in K^{2n}$ tels que $f(x,y)\neq 0$. Poser $\varepsilon_{2n-1}:=x$ et $\varepsilon_{2n}:= \frac 1 {f(x,y)} y$ puis montrer que $vect(x,y)$ est un supplémentaire de son orthogonal.