Somme de p-uplet

Lolo36 · February 2023

Bonjour,

On suppose $\displaystyle \sum_{(a_1,\ldots, a_{p})\in I^p} (a_1,\ldots,a_{p})=(\beta, \beta,\ldots, \beta)$. $I$ est un groupe additif d'élément neutre $e$.
Dans l'hérédité d'une récurrence pour passer du rang $p$ au rang $p+1$ pour cette somme : $\displaystyle \sum_{(a_1,\ldots, a_{p+1})\in I^{p+1}} (a_1,\ldots,a_{p+1})$, je ne vois que ceci à faire : $\displaystyle \sum_{(a_1,\ldots, a_{p+1})\in I^{p+1}} (a_1,\ldots,a_{p+1})=\displaystyle \sum_{(a_1,\ldots, a_{p})\in I^p} (a_1,\ldots, e) + \ldots= (\beta, \beta,\ldots, \beta)+\ldots $. C'est certainement faux et en plus incomplet. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ? Peut-être qu'il n'y a en fait aucun schéma récursif. Merci d'avance.

raoul.S · February 2023

Oui c'est bien ça. Plus précisément tu peux écrire : $\displaystyle \sum_{(a_1,\ldots, a_{p+1})\in I^{p+1}} (a_1,\ldots,a_{p+1})=\sum_{a\in I}\sum_{(a_1,\ldots, a_{p})\in I^{p}} (a_1,\ldots,a_{p}, a)$ et appliquer l'hypothèse de récurrence.