Une inégalité

matheuxpro

Bonjour.
Soit $p(u,x)=(4 \pi u)^{-1/2}e^{-\frac{x^2}{4u}},u>0,x \in \mathbb{R}$ et $\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}).$
Prouver que $$\forall u>0,\delta>1/2,\exists C>0,\epsilon>0,\forall \lambda \in ]0,1],\int_0^u\left(\int_\mathbb{R}\left(\int_{\mathbb{R}}\lambda^{-1}\phi(x/\lambda)p(r,x-y)dx\right)^2dy\right)dr \leq u^{\epsilon}C\lambda^{1-2\delta}.$$Comment vérifier l'inégalité ?
Remarque: l'exercice est correct
Merci.

bd2017

Bonjour

Bizarre?  Ton intégrale vaut  $ \int_0^u ||F( \lambda^{-1}  ( \phi(x/ \lambda) ) F(p(r,x))  ||^2_2  dr $  

où $F$  désigne la transformée de Fourier.   Mais vu  la propriété de $\phi$ sa transformée est bornée et le changement de variable  $x'=x/\lambda$ fait disparaitre $\lambda$ .

Donc  on a une majoration de l'intégrale  de la forme   $C \int_0^u   || F(p(r,x)) ||_2^2  dr.$  On a une gaussienne donc le calcul est faisable pour trouver une majoration  de la forme  $C \sqrt{u}.$ 

Perso  je trouve que le $\lambda$  disparait...sauf erreur de ma part. De toute façon, il y a quelqu'un qui fait erreur !

Affirmer que l'exercice est correct ne veut rien dire sans exhiber la solution. 

gebrane

Je ne vois pas la disparitioin de ce $\lambda$ , $$\int_{\mathbb{R}}\lambda^{-1}\phi(x/\lambda)p(r,x-y)dx=\int_{\mathbb{R}}\phi(x)p(r,\lambda x-y)dx=(4 \pi r)^{-1/2}\int_{\mathbb{R}}\phi(x) e^{-\frac{(\lambda x-y)^2}{4r}}dx$$

bd2017

@gebrane ce n'est pas à cet endroit que j'ai fait le changement de variable.

$F(\lambda ^{-1} \phi(x/\lambda) ) (\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-i x \xi} \lambda {-1} \phi(x/\lambda) dx =\int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-i x\lambda  \xi}  \phi(x) dx , $

avec  le changement de variable que j'ai indiqué. 

Ensuite si je désigne par  $[a,b]$  le support de  $\phi$  on a

$|F(\lambda^ {-1} \phi(x/\lambda) ) (\xi)|=|\int_{a}^{b}  e^{-i x\lambda  \xi}  \phi(x) dx |\leq (b-a) ||\phi||_\infty=C . $

La majoration donnée dans l'exercice donne à penser que l'intégrale explose quand $\lambda$ tend vers 0,  mais ce n'est pas le cas. La constante dépend uniquement de $\phi$ mais pas de $\lambda.$

Barjovrille

Bonjour. J'ai déjà donné des pistes ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333076/integrale-et-inegalite

L'énoncé original a disparu mais il était très ressemblant à celui là.

Je vais détailler mes indications :
on pose $\phi_{\lambda}(x)=\lambda^{-1}\phi(x/\lambda)$
L'expression de départ est alors égale à :
$\int_{0}^{u} || \phi_{\lambda} *p(r,.)||^2_{L^2}dr$
par l'inégalité de Young pour la convolution (qui s'applique pour tout $(r,p,q)$ vérifiant $1+ 1/r= 1/p +1/q$ et ici on prend $r=2,p=1,q=2$)
On majore l'expression par :
$\int_{0}^{u} || \phi_{\lambda}||^2_{L^2} ||p(r,.)||^2_{L^1}dr$, pour tout $r$, $||p(r,.)||^2_{L^1}=1$ car c'est l'intégrale sur $\mathbb{R}$ de la densité d'une loi normale.
On a donc la majoration par :
$\int_{0}^{u} (\int_{\mathbb{R}} \lambda^{-2} \phi( y/\lambda)^2 dy) dr$
changement de variable $z=y/\lambda$ on a :
$\int_{0}^{u}(\int_{\mathbb{R}} \lambda^{-1} \phi(z)^2dz)dr$ cette dernière expression est égale à :
$u \lambda^{-1} ||\phi||^2_{L^2}$

Je crois qu'il y a un souci au niveau du $\delta$.

@bd2017 je n'ai pas compris comment tu as trouvé l'expression avec le produit de transformation de Fourrier.

[William Henry Young (1863-1942) prend toujours une majuscule. AD]

bd2017

@barjoville
La transformée de Fourier est une isométrie de $L^2(\R)$ et  $F(f*g)=F(f)F(g)$.
Donc  $|| \phi_\lambda * p(r,.)||^2_2 =|| F(\phi_\lambda * p(r,.))||^2_2 =|| F(\phi_\lambda) F( p(r,.))||^2_2$
J'utilise que $F(\phi_\lambda) $ est majorée indépendamment de $\lambda$

matheuxpro

L'inégalité de Young peut être utile, aussi il faut une façon intelligente pour faire apparaître $\delta,$ j'ai pensé à utiliser $\int_0^ue^{-2\lambda r}r^{-\alpha}dr\leq C \lambda^{\alpha-1}$ ($C$ en fonction de la fonction $\Gamma$), pour $\alpha<1$.

matheuxpro

Par exemple pour $\alpha=2-2\delta,$ remarquons que $\alpha<1$ puisque $\delta>1/2.$

Barjovrille

Oui effectivement, j'ai perdu l'habitude de manipuler les transformées de Fourier...

La majoration de @bd2017 est plus efficace, elle n'invalide pas l'énoncé vu que c'est le cas limite $\delta=1/2$.

bd2017

Je ne suis pas tout à fait d'accord  avec ta conclusion.  La majoration de l'énoncé n'est pas fausse   mais  elle est trop grossière pour moi. Si c'est un exercice comme annoncé par @matheuxpro  il y a un problème d'énoncé tout de même. Maintenant il reste à connaître la véritable origine de la question.

Barjovrille

Oui, je comprends ton point de vue.