Fonction "somme des facteurs premiers"

Matricule_63

Bonjour à tous
Pour mes 4e, j'avais crée un petit exercice à base de nombres "amis", que j'ai définis comme étant deux nombres dont les sommes des facteurs premiers sont égales (ce n'est pas la définition usuelle, mais je trouvais celle là plus pertinente dans le cadre de ce que je voulais leur faire bosser).

Est-ce que vous savez s'il y a des travaux sur ces nombres ? Si on note s(x) la somme des facteurs premiers de x, on se trouve avec une fonction super bizarre, dont je n'ai pas pu tirer grand chose. ( ker(s - I) c'est l'ensemble des nombres premier et 4, s(xy) = s(x) + s(y), les classes d'équivalence sont finies, mais difficile de dire grand chose sur leur cardinal. On peut étendre s à Q en posant s(p/q) = s(p) - s(q), pour avoir un morphisme (Q+*, x) -> (Q/s, +) et là ça devient vraiment le bazar ^^').

J'imagine bien que, vu qu'il y a des nombres premiers derrière, ça va être forcément tordu, mais s'il y avait des résultats connus derrière ça m'intéresserait beaucoup !

Boécien

Tu parles de la somme des facteurs sans multiplicité? Si oui voir cette suite.

Matricule_63

C'était avec multiplicité. (sinon notamment on perd s(xy) = s(x) + s(y).
Mais ton lien a une référence vers la fonction dont je parlais, merci! 
Je ne connaissait pas ce site, il va falloir que je m'y plonge...

Poirot

La fonction $s - \mathrm{id}$ n'étant pas un morphisme, il est mal placé de parler de son noyau. Il est aussi faux de dire que $s(xy) = s(x) + s(y)$ (contre-exemple, $s(8)=2 \neq s(2) \times s(4) = 4$). Par contre ta fonction est bien $\textbf{additive}$ au sens où $s(xy) = s(x) + s(y)$ quand $x$ et $y$ sont $\textbf{premiers entre eux}$.

On peut chercher des informations statistiques sur la fonction $s$. Par exemple, puisque $s(p^n)=p$ pour tout $n \geq 1$ et tout nombre premier $p$, on voit facilement que pour tout $\varepsilon > 0$, $\liminf_{n \to +\infty} \frac{s(n)}{n^{\varepsilon}} = 0$, tandis que l'additivité permet de voir sans trop de peine que $\limsup_{n \to +\infty} \frac{s(n)}{n} = 1$. Ainsi cette fonction a un comportement plutôt erratique, donc il vaut mieux essayer de cerner son comportement en moyenne.

En écrivant $\lfloor y \rfloor = y + O^*(1)$, où $O^*$ désigne un grand $O$ avec une constante $1$, on obtient $$S(x) := \frac{1}{x} \sum_{n \leq x} s(n) = \frac{1}{x} \sum_{n \leq x} \sum_{p \mid n} p = \frac{1}{x} \sum_{p \leq x} p \sum_{n \leq x, p \mid n} 1 = \frac{1}{x} \sum_{p \leq x} p \left \lfloor \frac{x}{p}\right \rfloor = \sum_{p \leq x} 1 + O^*\left(\frac{1}{x} \sum_{p \leq x} p \right).$$ Le théorème des nombres premiers donne que  $\sum_{p \leq x} 1 = \frac{x}{\log x} + o\left(\frac{x}{\log x}\right)$, ainsi que $\sum_{p \leq x} p = \frac{x^2}{2 \log x} + o\left(\frac{x^2}{\log x}\right)$, donc on arrive à l'estimation pas très satisfaisante $S(x) = \frac{x}{\log x} + O^*\left(\frac{x}{2 \log x}\right)$.

On peut sûrement faire plus fin en développant la partie fractionnaire en série de Fourier et en utilisant des estimations de sommes d'exponentielles... @noix de totos  pourra certainement nous en dire plus. Ce papier suggère qu'on a plutôt $S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{12} \frac{x}{\log x}$.

EDIT : Je n'avais pas vu les réponses entre-temps, ce n'était donc pas la bonne fonction... Le papier dont je donne un lien ci-dessus étudie directement la "bonne" fonction du coup.

Matricule_63

Merci de ta réponse, et du papier!

s est bien morphisme après extension (de $(\Q^*_+, \times)$ dans $(\Z, +)$), mais bon là parler d'identité n'a plus trop de sens, donc effectivement mon ker(s-I) est maladroit.

lourrran

Cette fonction $s(n)$ est très erratique, mais on peut s'intéresser à une fonction voisine :
$t(n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n s(i)$
Ou cette autre fonction : 
$t(n) = \frac{1}{n \times \ln(n)} \sum_{i=1}^n s(i)$

Je ne serais pas étonné que cette dernière fonction ait une limite finie quand $n$ tend vers l'infini.

noix de totos

Pour info, en théorie des nombres, la fonction somme des facteurs premiers se note $A^\star$ : 
$$A^\star (n) := \sum_{p^\alpha \| n} p.$$
Cette notation est donnée en référence à la fonction d'Alladi-Erdös (étudiée en 1977), notée $A$, définie par
$$A := \sum_{p^\alpha \| n} \alpha p.$$

Bien évidemment, de nombreux travaux ont étudié ces fonctions, auxquelles on peut ajouter les fonctions additives suivantes : 
$$\Omega_\ell(n) := \sum_{p^\alpha \| n} \alpha^\ell, \quad A_\ell(n): = \sum_{p^\alpha \| n} \alpha^\ell p, \quad B(n) := A(n) - A^\star(n), \quad T(n) := \sum_{p^\alpha \| n} {\alpha + \ell - 1 \choose \ell}.$$
Toutes ces fonctions appartiennent à une même classe de fonctions additives, et partagent peu ou prou les mêmes résultats.