Cardinalité des bases d'un module libre

canasson29

Bonsoir à tous
Considérons un anneau $A$ commutatif, les $A$-modules libres $A^n$ et $A^m$ sont isomorphes en tant que $A-$ modules si et seulement si $n=m.$

Dans mes lointains souvenirs, on peut l'établir en considérant les $k=A/M$-espaces vectoriels $A^n/MA^n$ et $A^m/MA^m$, où $M$ est un idéal maximal de $A.$ Ils sont alors eux-même isomorphes et donc $n=m$. Cela permet de définir la dimension d'un $A$-module libre sans ambiguïté.

Je vous propose d'établir le résultat à l'aide de la trace matricielle $Tr(M) = \sum m_{i,i}$, où $M$ désigne une matrice quelconque  à coefficients dans $A.$

On précisera les formules utilisées, les raisons pour lesquelles elles sont valables, et les limites du raisonnement.

raoul.S

Je dirais que s'il existe un isomorphisme de $A$-modules $\phi:A^n\to A^m$ alors il existe deux matrices $M\in Mat_{m,n}(A)$ et $N\in Mat_{n,m}(A)$ telles que $MN=I_m$ et $NM=I_n$. De là, $m=Tr(MN)=Tr(NM)=n$ dans $A$. Si $A$ est de caractéristique $0$ on peut conclure que $n=m$. On peut peut-être faire mieux...