Isométrie et produit scalaire conservé
Bonjour,
Soient $E$ un espace euclidien munit du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et $f$ une application de $E$ dans $E$ telle que $f(0)=0$ et $\|f(x)\|=\| x\|$ pour tout $x\in E$.
Montrer que pour tout $x,y\in E$, $\langle f(x), f(y)\rangle =\langle x, y \rangle $.
Si $f$ est linéaire on peut appliquer l'identité de polarisation et déduire le résultat. Mais comme $f$ n'est pas linéaire, je n'arrive pas à la montrer.
Merci d'avance !
Soient $E$ un espace euclidien munit du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et $f$ une application de $E$ dans $E$ telle que $f(0)=0$ et $\|f(x)\|=\| x\|$ pour tout $x\in E$.
Montrer que pour tout $x,y\in E$, $\langle f(x), f(y)\rangle =\langle x, y \rangle $.
Si $f$ est linéaire on peut appliquer l'identité de polarisation et déduire le résultat. Mais comme $f$ n'est pas linéaire, je n'arrive pas à la montrer.
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Réponses
Soient $E$ un espace euclidien munit du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et $f$ une application de $E$ dans $E$ telle que $f(0)=0$ et $\|f(x)-f(y)\|=\| x-y\|$ pour tout $x,y\in E$.
Montrer que pour tout $x,y\in E$, $\langle f(x), f(y)\rangle =\langle x, y \rangle $.
Je ne vois pas comment tu peux en déduire que $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)- \mu f(y)=0$. Je suppose que tu utilises le fait que le produit scalaire est non-dégénéré. Sauf que pour ce faire il faudrait que $f(x_0)$ puisse être égal à n'importe quel vecteur de $E$, mais rien ne te dit à ce stade que $f$ est surjective pour pouvoir conclure ceci...
Pour montrer que pour tout $x,y\in E$ et $\mu\in \R$, $f(x+\mu y)-f(x)- \mu f(y)=0$ (pas besoin du $\lambda$, c'est plus rapide), on peut par exemple montrer que $\|f(x+\mu y)-f(x)- \mu f(y)\|^2=0$ en développant $\|.\|^2$ à l'aide du produit scalaire.