Base duale

Bethebesteveryday

Bonjour , svp pour montrer que B* est une base duale  et si on a E un espace vectoriel de dimension finie et B sa base telle que B={e1,…,en}. Pourquoi si j’ai dim E = dim E* = n il reste qu’à montrer que B* est libre afin de dire que c’est une base de dual de E ?  

D’autre part , je remarque aussi pareil dans le cas des espaces vectoriels si j’ai dim E = dim F = n alors bijectivité est équivalente à la surjectivité équivalente à l’injectivité pourquoi on a ceci et est ce que ces deux notions sont proches ou j’imagine ? 

Merci bcp d’avance

stfj

Bonjour. Prends un exemple.

Soit $E$ l'espace vectoriel réel $\mathbb R^2$. L'espace vectoriel $E^*$ dual de $E$ est celui des formes $\mathbb R$-linéaires sur $E$. Soit $\varphi\in E^*$ et soit $e:=(1,0),\ f:=(0,1)$ la base canonique de $E:=\mathbb R^2$. $\ \forall X=(x,y)\in E,\ \varphi(X)=\varphi(x,y)=\varphi((x,0)+(0,y))=\varphi(x(1,0)+y(0,1))=\varphi(xe+yf)=x\varphi(e)+y\varphi(f)$, soit en posant $a:=\varphi(e)\in \mathbb R,\ b:=\varphi(f)\in \mathbb R, \ \varphi(x,y)=ax+by$ (tout simplement l'expression si utile en classe de seconde, ni plus ni moins).

Soit maintenant $e^*$ et $f^*$ la base duale de $\{e,f\}$. On a par définition de cette "base duale", $\forall X\in E,\ e^*(X)=x\text{ et }f^*(X)=y$.

Donc, $\forall X\in E,\ \varphi(X)=ae^*(X)+bf^*(X)$, donc $\varphi=ae^*+bf^*$.

On a bien $\dim E^*=2=\dim E$.

 Pour la suite, il faudrait que tu formules un peu plus clairement ta question, pourquoi pas en prenant un exemple.

Et retiens que le travail dans les espaces vectoriels n'est qu'une façon un peu pédante d'appliquer nos connaissances issues de la géométrie élémentaire dans le plan $\mathbb R^2$ ou l'espace $\mathbb R^3$. En gros, toute l'algèbre linéaire se comprend aisément à condition d'aller piocher des exemples simples dans $\mathbb R^2$.

NicoLeProf

Pour répondre à ta question de la bijectivité équivalente à l'injectivité et à la surjectivité dans le cas où $\dim(E)=\dim(F)=n \geq 1$, c'est une conséquence directe du théorème du rang.

En effet, soit $f : E \to F$ une application linéaire entre deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels $E$ et $F$ de même dimension finie $n \geq 1$ .
Le théorème du rang permet d'écrire : $\dim(E)=rg(f)+\dim(\ker f)$ .

Essaie de démontrer que $f$ injective $\Leftrightarrow$ $f$ surjective $\Leftrightarrow$ $f$ bijective . C'est vraiment une conséquence directe du théorème du rang !

Bethebesteveryday

stfj a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406324/#Comment_2406324

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Que veut dire := svp ?

gerard0

Bonsoir.

Ça veut dire = quand on donne un nom (affectation, comme en informatique).

Cordialement.

Bethebesteveryday

gerard0

Merci bien !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Bethebesteveryday

NicoLeProf a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406330/#Comment_2406330

Essaie de démontrer que $f$ injective $\Leftrightarrow$ $f$ surjective $\Leftrightarrow$ $f$ bijective . C'est vraiment une conséquence directe du théorème du rang !

Pourquoi avec des équivalences ?

NicoLeProf

Parce que dans ce cas bien précis, si $f$ est injective alors $f$ est surjective et réciproquement donc il suffit de prouver l'un des deux pour avoir l'autre (donc la bijection). Tu peux démontrer au moins la première équivalence : $f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective, la deuxième est un peu triviale finalement.

Bethebesteveryday

NicoLeProf

Si f est injective, d’après le théorème du rang f est surjective (même équivalence), d’où le résultat  ...

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

NicoLeProf

Oui voilà, en détaillant un peu la preuve : si $f$ est injective alors $\ker f=\{0\}$ donc $\dim(\ker f)=0$ . De plus, par le théorème du rang : $\dim(E)=rg(f)+\dim(\ker f)$ donc $rg(f)=\dim(E)-0=\dim(E)=\dim(F)$ . Comme $Im f \subset F$ et $\dim(Im f)=\dim F$, on a $Im f=F$ et $f$ est surjective.

La preuve de la réciproque est similaire !

JLapin

@Bethebesteveryday
Tu poses des questions sur un sujet difficile (la dualité) en montrant clairement que ne maîtrises pas un chapitre très important à travailler avant : celui sur la dimension finie (définition et premières propriétés). Tu devrais travailler d'abord sur ce chapitre pour ne pas construire sur des sables mouvants.

Bethebesteveryday

NicoLeProf a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406373/#Comment_2406373

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Merci beaucoup pour les détails !

Bethebesteveryday

Pour ma 1ère question est ce que j’ai le droit d’utiliser le résultat suivant : si j’ai card(E)=dim(E) alors il suffit de montrer que la famille est libre afin d’en tirer une base ?

Bethebesteveryday

JLapin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406374/#Comment_2406374

Effectivement ! Je viens de commencer la dualité, du coup je reviens vers les notions de base et tout pour comprendre ...

NicoLeProf

Bethebesteveryday a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406382/#Comment_2406382

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

J'ai un peu de mal avec ta question, $card(E)$ ? Où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, cela me laisse un peu dubitatif. J'ai un peu de mal à imaginer un espace vectoriel ayant un nombre fini d'éléments...

À moins que tu veuilles dire : si le cardinal d'une famille d'éléments de $E$ est égal à la dimension de $E$ alors il suffit de montrer que la famille est libre pour qu'elle soit une base de $E$. La réponse est oui ! (Car toutes les bases de $E$ ont $\dim(E)$ éléments donc s'il existe une famille libre dans $E$ qui contient $\dim(E)$ éléments, c'est une base de $E$).

Et donc oui, tu peux appliquer cette méthode en exercices pour aller un peu plus vite !

Bethebesteveryday

NicoLeProf

En fait je veux montrer ce théorème ; donc je cherche à prouver que B* est bien une base de E* dans les conditions citées au dessus ...

JLapin

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Au contraire, c'est très utile je trouve : ça évite de cliquer sur un lien et donc de charger une nouvelle fois une page sur un forum trop fréquemment en surcharge critique.

Par ailleurs, sur téléphone, chaque page mets trois plombes à s'afficher correctement.

[L'avant dernier ou le dernier message sont visibles sur la page et ne nécessite pas le rechargement d'une nouvelle page !
Le recopier occupe la même place. C'est donc inutile ! AD]

Bethebesteveryday

Alors en revenant aux espaces vectoriels .. pour montrer qu’une famille est bien une base soit on essaye de montrer qu’elle est libre et génératrice , soit par la définition , soit une troisième méthode qui m’échappe je ne sais pas est-ce que si je connais la dimension de l’espace je montre que la famille est libre ou génératrice pour trouver la base ou quelque chose comme ça …  je ne sais pas est-ce que l’idée [est] claire...

JLapin

Ce sera plus clair si tu lis un cours sur le sujet.

gerard0

Bonsoir.

Théorèmes classiques.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
* Toute famille libre à n éléments de E est une base de E.
* Toute famille génératrice à n éléments de E est une base de E.

Cordialement.

Barjovrille

@NicoLeProf Une petite remarque : $\Z/p\Z$ où $p$ premier est un $\Z/p\Z$-espace vectoriel avec un nombre fini d'éléments. Mais il est vrai qu'en général on étudie souvent des espaces vectoriel avec un nombre infini d'éléments et donc on ne parle pas de cardinal.

@Bethebesteveryday  là tu n'as pas trop le choix il faut montrer que $B^*$ est génératrice et libre, sauf si tu connais la dimension de $E^*$ et là il y a plusieurs techniques potentielles qui s'ajoutent, si tu apprends le cours de façon rigoureuse ces questions vont aller très vite.

NicoLeProf

Alors, la 3ème méthode est intéressante si tu connais déjà la dimension de l'espace. Je vais prendre un exemple pour que ce soit plus clair: on se place dans $\mathbb{R}^2$ qui est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $2$ dont la base canonique est formée par les vecteurs $(1,0)$ et $(0,1)$ .

Imaginons que l'on veuille prouver que la famille $((1,1) ; (-1,1))$ est une base de $\mathbb{R}^2$ . Il suffit de montrer que cette famille est libre puisque c'est une famille de $\mathbb{R}^2$ constituée de $2=\dim(\mathbb{R}^2)$ éléments.

J'espère que c'est plus clair maintenant ! ^^'

Maintenant, pour revenir à ton problème initial concernant la base duale. C'est compliqué.

Déjà, tu ne sais pas que $\dim(E)=\dim(E^*)$, c'est le fait que $(e_1^*,...,e_n^*)$ soit une base de $E^*$ qui va nous permettre de conclure !

Tu as sans doute vu que si $(e_1,...,e_n)$ est une base de $E$ alors tu peux définir $n$ formes linéaires : $e_1^* , ... , e_n^*$ telles que pour tout $1 \leq i \leq n$, $e_i^*(e_i)=1$ et pour tout $1 \leq i \leq n$, $i \neq j$, $e_i^*(e_j)=0$ . Il faut montrer que la famille $(e_1^*,...,e_n^*)$ est libre dans $E^*$ et génératrice de $E^*$ pour pouvoir conclure. En fait, $E^*$ est l'ensemble des formes linéaires de $E$ dans $\mathbb{K}$ .

Essaie de le faire en revenant aux définitions !

Bethebesteveryday

gerard0 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406398/#Comment_2406398

Théorèmes classiques : ...

Merci énormément pour le rappel ! Est-ce que vous avez des idées de démonstrations de ces théorèmes svp surtout le 2ème ?

Bethebesteveryday

Barjovrille a dit :

@NicoLeProf Une petite remarque : $Z/pZ$ où $p$ premier est un $Z/pZ$-espace vectoriel avec un nombre fini d'éléments. Mais il est vrai qu'en général on étudie souvent des espaces vectoriel avec un nombre infini d'élément et donc on ne parle pas de cardinal.

@Bethebesteveryday  la tu n'as pas trop le choix il faut montrer que $B^*$ est génératrice et libre, sauf si tu connais la dimension de $E^*$ et la il y a plusieurs techniques potentielles qui s'ajoutent, si tu apprends le cours de façon rigoureuse ces questions vont aller très vite.

Oui on a dimE*=dimE donc je peux m’échapper de voir si B* est génératrice , ça me suffit qu’elle soit libre ..

NicoLeProf

C'est vrai merci Barjovrille ! ^^'

Pour montrer que $B^*$ est libre, tu considères une combinaison linéaire nulle : soit $\lambda_1 e_1^*+ ... + \lambda_n e_n^*=0$ et tu essaies de prouver que tous les $\lambda_i$ sont nuls . Ce n'est pas difficile : tu peux évaluer les $e_i^*$ en des vecteurs bien choisis !

Pour répondre à ton autre question sur la démonstration des théorèmes donnés par Gerard : les deux preuves reposent sur le théorème de la base incomplète (pour compléter une famille libre en une base) et le théorème de la base extraite (qui permet d'extraire une base à partir d'une famille génératrice).

Tu peux donc raisonner par l'absurde en supposant que la famille libre $B$ à $n=\dim E$ éléments n'est pas une base de $E$. Alors, d'après le théorème de la base incomplète, en ajoutant au moins un vecteur à la famille $B$, on la complète en une base $B'$ de $E$. Dès lors, $B'$ a au moins $n+1$ éléments et $\dim E \geq n+1$ ce qui est absurde. 

Ce qui fait marcher les choses est que toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments qui est la dimension de $E$ et qu'on a les inégalités suivantes :

toute famille libre a un nombre d'éléments inférieur ou égal à la dimension de $E$ et toute famille génératrice a un nombre d'éléments supérieur ou égal à $\dim E$ . Les preuves sont bien faites au début de ton cours sur les familles de vecteurs normalement et reposent sur les deux gros théorèmes que j'ai cités ci-dessus.

Bethebesteveryday

NicoLeProf a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2406401/#Comment_2406401

Merci beaucoup pour les détails ! Bon pour l’exemple que vous avez donné soit de montrer qu’elle est libre ou génératrice aussi sauf que démontrer une famille est génératrice c’est pas très pratique .. anyway, sinon pour dim(E)=dim(E*) c’est vérifié d’après un résultat classique qui stipule que dim L(E,F)= dimE dimF appliquons ceci à E* on aura le résultat.

gerard0

Rappel : On trouve tout ça dans les cours de base d'algèbre linéaire.
Cordialement.