Coefficient multinomial modulo p
Bonjour
Soit $A$ un anneau et $a\in A$ tel que $\boxed{pa=0}$.
Soit $A$ un anneau et $a\in A$ tel que $\boxed{pa=0}$.
Soient $p$ et $q$ des nombres premiers impairs tels que $p \ne q$.
Dans le Liret, dans la démonstration de la réciprocité de la loi quadratique, je trouve que l'auteur va trop vite, il dit que comme $\forall 0 < k< p $ on a $ \displaystyle\binom{n}{k}$ est multiple de $p$ alors $\boxed{\Big( \displaystyle\sum_{i \in \mathbb{F}_q} a^i \Big)^p = \sum_{i \in \mathbb{F}_q} a^{ip}}$.
Pour une loi binomiale je sais faire, mais ici il me semble que c'est une loi multinomiale...
Parce que quand j'écris la formule générale c'est : $\Big( \displaystyle\sum_{i =0}^{q-1} a^i \Big)^p = \sum_{k_1+ \cdots + k_{q-1}=p} \dfrac{p!}{k_1 ! \cdots k_{q-1} ! } x_1 ^{k_1} \cdots x_{q-1} ^{k_{q-1}}$.
Mais je ne vois pas quoi faire avec cette expression compliquée.
PS : j'avais oublié l'hypothèse fondamentale $pa=0$.
Pour une loi binomiale je sais faire, mais ici il me semble que c'est une loi multinomiale...
Parce que quand j'écris la formule générale c'est : $\Big( \displaystyle\sum_{i =0}^{q-1} a^i \Big)^p = \sum_{k_1+ \cdots + k_{q-1}=p} \dfrac{p!}{k_1 ! \cdots k_{q-1} ! } x_1 ^{k_1} \cdots x_{q-1} ^{k_{q-1}}$.
Mais je ne vois pas quoi faire avec cette expression compliquée.
PS : j'avais oublié l'hypothèse fondamentale $pa=0$.
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Réponses
Soit $n$ le nombre de facteurs. Montrons la propriété $P(n)$ suivante. Soient $a \in A$ tel que $pa=0$. On a : $\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^n a^k \Big)^p =\sum_{k=1}^n a^{kp}$.
Au rang $n=1$ la propriété est triviale.
Supposons $P(n)$ vraie. Montrons $P(n+1)$.
Soient $a_1, \dots, a_n, a_{n+1} \in A$. On a $\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a^k \Big)^p =\Big(a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} a^k \Big)^p $
D'après la formule du binôme de Newton : $\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a^k \Big)^p =\sum_{j=0}^p \binom{p}{j} (a^{n+1})^{p-j} \Big(\sum_{k=1}^n a^k \Big)^p$
Mais $\forall 0 < j < p $ on a $\binom{p}{j} $ multiple de $p$ et que $p a =0$ on en déduit :
$\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a^k \Big)^p =a^{ p(n+1)}+ \Big(\sum_{k=1}^{n} a^k \Big)^p $
D'après l'hypothèse de récurrence : $\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a^k \Big)^p =a^{ p(n+1)}+ \sum_{k=1}^{n} a^{kp} $
En rassemblant les deux termes on obtient finalement : $\boxed{\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a^k \Big)^p = \sum_{k=1}^{n+1} a^{kp} }$ ce qui montre $P(n+1)$.
Option 2 :
On a $\displaystyle\binom{p}{k_1, \dots, k_{q-1}} = \dfrac{p!}{ k_1 ! \times \cdots \times k_{q-1} !}$
Donc $\boxed{p! = k_1 ! \times \cdots \times k_{q-1} ! \displaystyle\binom{p}{k_1, \dots, k_{q-1}} }$
Donc $p \mid k_1 ! \times \cdots \times k_{q-1} ! \displaystyle\binom{p}{k_1, \dots, k_{q-1}} $.
Supposons qu'il existe deux indices $i,j \in [|1,q-1|]$ tels que $k_i$ et $k_j$ soient non nuls. Donc aucun $k_u$ n'est nul et aucun $k_u$ ne vaut $p$.
$p$ ne divise aucun entier entre $1$ et $p-1$, donc $p$ ne divise aucun $k_u !$ où $u \in [|1,q-1|]$.
Ainsi, $p$ ne divise pas $ k_1 ! \times \cdots \times k_{q-1} !$ donc $p$ divise $\displaystyle\binom{p}{k_1, \dots, k_{q-1}} $ ce qui termine la preuve.
Soit $p$ non nombre premier et $b,c \in \Z$. Si $p \mid bc$ alors $p \mid b$ ou $p \mid c$.
Ici j'ai utilisé la contraposée.
J'aurais dû être plus précis en évoquant le lemme de Gauss.