Intégrale d’un élève de Louis Le Grand

etanche

Bonjour
Calculer $\quad\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$ 

Source à la suite d’une discussion sur les maths avec un élève en classe de 1ère à LLG passionné par les intégrales.

Merci.

Fin de partie

@Etanche: On a souvent parlé de cette intégrale sur ce forum.
Je soupçonne l'auteur de cette vidéo d'avoir lu ce fil.

PS.
Je viens de m'apercevoir que c'est un fil que tu avais ouvert que je cite. Des pertes de mémoire? Cela m'arrive aussi.

etanche

@ Fin de partie pas de perte de mémoire, je me souviens d’avoir ouvert un fil.
 J’avais envie de le remettre au menu ce soir, cet élève de 1ère m’avait impressionné pour sa maîtrise de calculs d’intégrales. 

Guego

Je n'ai pas regardé la vidéo et je ne me souviens pas l'avoir vue ici. Je propose de poser $f(t) = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+tx)}{1+x^2}dx$. On a alors $f'(t) =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{(1+tx)(1+x^2)}dx$. Une décomposition en éléments simples nous permet alors de trouver $f'(t) = \dfrac{-\ln(1+t)}{t^2+1} + \dfrac{\pi t+2\ln(2)}{4t^2+4}$.

Étant donné que $f(0) = 0$, on a $f(1) = \displaystyle \int_0^1 f'(t)dt$, ce qui donne $f(1) = -f(1) + \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\pi t+2\ln(2)}{4t^2+4}$, et donc $f(1) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\pi t+2\ln(2)}{4t^2+4}$, soit, après calculs : $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\dfrac{1}{8} \pi \ln(2)$.

Math Coss

C'est du même tonneau que les deux méthodes de la vidéo : une manipulation plus ou moins inspirée qui produit une espèce de miracle qui donne une équation $f(1)=-f(1)+J$ avec $J$ facile à calculer. À mon sens, ça reste incompréhensible...

Pour éviter d'aller voir la vidéo, les deux changements de variables sont $x=\tan u$ et $x=\frac{1-y}{1+y}$. D'après les fils précédents, @Fin de partie trouve ce dernier changement très naturel dans le contexte.

Je connaissais un phénomène du même genre avec $\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,\mathrm{d}x=-\frac{\pi\ln2}2$. Est-ce que les deux intégrales se ramènent l'une à l'autre ?

Fin de partie

@Guego: Méthode très utile mais ici c'est comme casser une noix avec un marteau-piqueur puisqu'on peut calculer cette intégrale, comme déjà mentionné, sans introduire d'intégrale double ou d'intégrale à paramètre.

Homo Topi

@Math Coss FdP se shoote au calcul d'intégrales, c'est normal qu'il ait des habitudes que nous on n'a pas

Plus sérieusement, je trouverais ça excellent d'avoir une sorte de formulaire de familles d'intégrales et de méthodes associées (les changements de variables qui marchent souvent et que FdP qualifierait de standards/classiques, quelles IPP, où écrire une fonction comme une intégrale pour en faire une intégrale double à fubiniser, etc...). Un peu comme ceci, mais en différent ?

gebrane

On peut calculer l’intégrale sans passer par le miracle cité par @Math Coss   $I=-I+J$.

Notre intégrale s’écrit  \begin{align}
\int_0^{\pi/4} {\ln(1+\tan(t))} dt& = \int_0^{\pi/4} \ln(\sin(t) + \cos(t)) dt - \int_0^{\pi/4} \ln(\cos(t)) dt\\

& = \int_0^{\pi/4} \ln\left( \dfrac{\sin(t) + \cos(t)}{\sqrt{2}} \right) dt + \int_0^{\pi/4} \ln(\sqrt{2}) dt- \int_0^{\pi/4} \ln(\cos(t)) dt\\
& = \int_0^{\pi/4} \ln(\cos(t-\pi/4)) dt + \int_0^{\pi/4} \ln(\sqrt{2}) dt- \int_0^{\pi/4} \ln(\cos(t)) dt\\

& = I_1+\dfrac{\pi}8 \ln 2 -I_2
\end{align} Il est facile de voir que $I_1=I_2$.

Boécien

@gebrane Y a quand même le miracle du changement de variable x=tan(u)

gebrane

Mon ami  @Boécien .  Lorsque nous sommes en présence d'un dénominateur $\dfrac1{1+x^2}$, croyez-vous que c'est un miracle ?

Boécien

Un micro miracle!  Sinon cette intégrale fournit cette curieuse formule de série

$$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^{n}}{n+1}\left(\psi\left(\frac{n+4}{4}\right)-\psi\left(\frac{n+2}{4}\right)\right)=\frac{\pi}{2}\log2$$

etanche

Pourquoi le changement de variable $x=\frac{1-t}{1+t}$ permet de bien calculer cette intégrale ?

@ Boécien comment arrive-t-on à cette série ? Merci

gebrane

etanche

Où bloques-tu ?

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Bonjour @AD , il pose deux questions et moi je lui demande où il bloque pour la première question

Fin de partie

@Etanche: Ce changement de variable est le pendant non-trigonométrique du changement de variable $u=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$

Boécien

@ Boécien comment arrive-t-on à cette série ? Merci

On a $$\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t^{2}}dt=\frac{1}{4}\left(\psi\left(\frac{n+3}{4}\right)-\psi\left(\frac{n+1}{4}\right)\right)$$

P.2

Franchement, gebrane donne la solution simple et évidente.

etanche

@ gebrane je ne bloque pas . Je voulais comprendre quelle la motivation du changement de variable homographique
$x=\frac{1-t}{1+t}$ 

Fin de partie

@Etanche: Ce changement de variable laisse invariant $\dfrac{dx}{1+x^2}$ et $\dfrac{dx}{1+x}$ et, bien sûr formellement $u=\dfrac{1-x}{1+x}$ est équivalent à $x=\dfrac{1-u}{1+u}$ (le changement de variable est une involution)

Math Coss

Eh bien, tu en dis, des choses éclairantes en deux messages, @Fin de partie !