Détermination d'angle d'un segment par rapport à un cercle
Bonjour
Je suis bricoleur, ingénieur de formation, mais les maths c'est loin ! Cela fait 2 semaines que je noircis des feuilles à essayer de résoudre mon probleme, en vain. Peut-etre auriez vous une idée ?
Je suis bricoleur, ingénieur de formation, mais les maths c'est loin ! Cela fait 2 semaines que je noircis des feuilles à essayer de résoudre mon probleme, en vain. Peut-etre auriez vous une idée ?
Contexte : je cherche à créer un gabarit d’angle réglable pour positionner mes lames (ciseaux à bois, lames de rabot, outils de tournage sur bois..) avec un angle d’affutage précis par rapport à la surface de la meule à aiguiser.
Modélisation du problème :
- la meule est représentée par un cercle de rayon R connu, de centre O
- le gabarit est représenté par un segment [AB] de longueur h connue, venant toucher le cercle en A et formant un angle α par rapport à la perpendiculaire
- la tige de réglage est représentée par un segment [BC] de longueur L connue, venant toucher le cercle en C
- on cherche comment régler l'écartement k = longueur du segment [AC] pour obtenir l’angle d’affûtage α souhaité, autrement dit on cherche la fonction f telle que k=f(α)
- on nomme θ l’angle (OA,OC) et β l’angle (AO,AC)
Schéma :
Formules utiles :
- la meule est représentée par un cercle de rayon R connu, de centre O
- le gabarit est représenté par un segment [AB] de longueur h connue, venant toucher le cercle en A et formant un angle α par rapport à la perpendiculaire
- la tige de réglage est représentée par un segment [BC] de longueur L connue, venant toucher le cercle en C
- on cherche comment régler l'écartement k = longueur du segment [AC] pour obtenir l’angle d’affûtage α souhaité, autrement dit on cherche la fonction f telle que k=f(α)
- on nomme θ l’angle (OA,OC) et β l’angle (AO,AC)
Schéma :
Formules utiles :
Triangle isocèle
a) β=(π-θ)/2=π/2-θ/2
b) cos β = k/2R = sin θ/2
a) β=(π-θ)/2=π/2-θ/2
b) cos β = k/2R = sin θ/2
loi des sinus
c) K/sin(BA,BC)=L/sin(α+π-β)=H/sin(CA,CB)
c) K/sin(BA,BC)=L/sin(α+π-β)=H/sin(CA,CB)
Loi des cosinus
d) L²=H²+K²-2HKcos(α+π-β)
e) H²=L²+K²-2KLcos(CA,CB)
f) K²=H²+L²-2HLcos(BA,BC)
d) L²=H²+K²-2HKcos(α+π-β)
e) H²=L²+K²-2KLcos(CA,CB)
f) K²=H²+L²-2HLcos(BA,BC)
Tentative de résolution :
De c) on tire
K/sin(BA,BC) = H/sin(CA,CB) = L/sin(α+π-β) = L/sin(α+π- π/2+θ/2) = L/sin(α+π/2+θ/2) = L/cos(α+θ/2)
De d) on tire
L²=H²+K²-2HKcos(α+π-β)
=H²+K²-2HKcos(α+π- π/2+θ/2)
= H²+K²-2HKcos(π/2+α+θ/2)
= H²+K²+2HKsin(α+θ/2)
De c) on tire
K/sin(BA,BC) = H/sin(CA,CB) = L/sin(α+π-β) = L/sin(α+π- π/2+θ/2) = L/sin(α+π/2+θ/2) = L/cos(α+θ/2)
De d) on tire
L²=H²+K²-2HKcos(α+π-β)
=H²+K²-2HKcos(α+π- π/2+θ/2)
= H²+K²-2HKcos(π/2+α+θ/2)
= H²+K²+2HKsin(α+θ/2)
Et de la je tourne dans tous les sens, sans arriver à quelque chose d'exploitable, mes équations ne ressemblent à rien.
Merci d'avance pour votre aide !
Merci d'avance pour votre aide !
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Réponses
– 2Rx -2hxcosα – 2hysinα – h² + L² = 0
2x(R+ hcosα) + 2hysinα + h² - L² = 0
x = (L² – h² - 2h y sinα ) / 2 (R + h cosα)
(équation de la droite CC’ donc)
(L² – h² - 2h y sinα )²/ 4 (R + h cosα)² + y² – 2R [ (L² – h² - 2h y sinα ) / 2 (R + h cosα) ] = 0
Bonjour
Merci pour vos réponses. Par rapport à la remarque sur les logiciels, j’avoue que j’ignorais qu’ils pouvaient abattre les calculs littéraux. Cela dit, je suis peut être vieille école mais je pensais préférable et possible de dénouer ce satané système d’équations « à la main », non ? Je n’ai pas abandonné depuis que vous avez répondu, mais à mon grand dam, je dois bien constater que j’avance sans aboutir. Et ce malgré quelques heures passées sur les deux propositions de solution, Juste passé la cinquantaine et déjà rouillé ma parole ! M’y prends-je mal ?
NB - Il y a au moins un avantage à essayer, c’est d’apprendre l’éditeur de formules de LibreOffice pour avoir des jolies présentations comme vous. Par contre je n'arrive pas à les inclure dans ma réponse, comment faites vous ? J'ai cherché sans succès sur le forum une astuce pour inclure les formules
Tu peux te servir de $\LaTeX$ pour écrire directement tes formules.
Utilise l'option citer pour voir comment les habitués du forum s'en servent!
Ce n'est pas très difficile!
Amicalement
pappus
D'autre part, il me semble que LibreOffice sait exporter en pdf qui est accepté ici.
Cordialement,
Rescassol
Première approche
De (1) – (2) on tire $– 2Rx -2hx\cos(α) – 2hy\sin(α) – h^2 + L^2 = 0$
D’où $x = \dfrac{L^2– h^2 - 2h y \sin(α) } {2 (R + h \cos(α))}$
On remplace $x$ dans (1) : $\dfrac{(L^2 – h^2 - 2h y \sin(α) )^2} {4 (R + h \cos(α))^2} + y^2 – 2R \dfrac{ L^2 – h^2 - 2h y \sin(α) } {2(R + h \cos(α))} = 0$
En multipliant par le premier dénominateur ${(L^2 – h^2 - 2h y \sin(α) )^2} + 4y^2(R + h \cos(α))^2 – 4R(L^2 – h^2 - 2h y \sin(α))(R + h \cos(α)) = 0$
On développe
$L^4–L^2h^2-2L^2hy \sin(α)-L^2h^2+h^4+2h^3y \sin(α)-2L^2hy \sin(α)+2h^3y \sin(α)+4h^2y^2 \sin^2(α)+4y^2R^2+8y^2Rh \cos(α)+4y^2h^2\cos^2(α)–4R^2L^2+4R^2h^2+8R^2h y \sin(α)–4RL^2h \cos(α)+4Rh^3\cos(α)+4Rh^2y\sin(α)\cos(α)= 0$
On factorise le polynôme en $y$
$y^2 4(h^2\sin^2(α)+R^2+2Rh \cos(α)+h^2\cos^2(α))+y(-2L^2h \sin(α)+2h^3 \sin(α)-2L^2h \sin(α)+2h^3 \sin(α)+8R^2h\sin(α)+4Rh^2\sin(α)\cos(α))+(L^4–L^2h^2-L^2h^2-4R^2L^2+4R^2h^2-4RL^2h\cos(α)+4Rh^3\cos(α))=0$
On réduit les facteurs
$y^2.4(h^2\sin^2(α)+R^2+2Rh \cos(α)+h^2\cos^2(α))-y.4\sin(α)(L^2h-h^3-2R^2h+TRh^2\cos(α))+(L^4–2L^2h^2-4R^2L^2+4R^2h^2-4RL^2h\cos(α)+4Rh^3\cos(α)+4Rh^2\cos(α))=0$
On calcule le discriminant
$ \Delta = (4\sin(α)(L^2h-h^3-2R^2h))^2-16(h^2\sin^2(α)+R^2+2Rh \cos(α)+h^2\cos^2(α)).(L^4–2L^2h^2-4R^2L^2+4R^2h^2-4RL^2h\cos(α)+4Rh^3\cos(α)+4Rh^2\cos(α))$
On développe [à suivre...]
Seconde approche
De (1) on tire
$k^2-2Rx=0$
Soit
$x=k^2/2R$
Que l’on réinjecte dans (2)
$k^4/4R^2 + y^2 + 2h(k^2/2R)\cos(α) + 2hy\sin(α) + h^2 - L^2 = 0$
$y^2 + y.2h\sin(α) + (h^2 - L^2 + k^4/4R^2 + 2h(k^2/2R)\cos(α)) = 0$
Discriminant
$\Delta=4h^2\sin^2(α)-4.(h^2 - L^2+ k^4/4R^2 + 2h(k^2/2R)\cos(α))$
$\Delta=4h^2\sin^2(α)-4h^2 +4L^2- k^4/R^2 - 4hk^2/R\cos(α)$
Racines
$y_{1,2}=-h\sin(α)\pm\sqrt(4h^2\sin^2(α)-4h^2 +4L^2- k^4/R^2 - 4hk^2/R\cos(α))/2$
[…]
La complexité des expressions que j'obtiens et l'apparente absence de simplification possible des facteurs me semble douteuse .. suis-je sur la bonne voie ?
Bravo pour ton courage et ta ténacité.
Tu ne peux rien contre la complexité des expressions que tu manipules, même dans un problème d'apparence aussi élémentaire que le tien!
Il faut vivre avec son siècle et utiliser ces logiciels de calcul formel absolument indispensables aujourd'hui!
Amicalement
pappus