Point de Fermat-Torricelli : une question de perspective

gipsyc

Bonjour
Le point de Fermat minimise la somme des distances d'un point aux sommets du triangle.

Est-il cohérent de le prouver par la géométrie projective dans le plan euclidien comme ci-dessous ?

Soit un triangle équilatéral ABC d'orthocentre H.

Pour tout point P du plan, il est clair que
   HA + HB + HC ≤︎ PA + PB + PC
Pour tout triangle image d'un autre triangle par projection de centre quelconque X, l'alignement des points et les rapports de longueurs sont conservés.

On peut donc (?) affirmer

Tout triangle A'B'C' en perspective de centre l'orthocentre H du triangle équilatéral ABC conserve cette propriété du point H par rapport à ses sommets
   HA' + HB' + HC' ≤︎ PA' + PB' + PC'
Le point H est le point de Fermat-Torricelli.

Corollaire
Tout triangle en perspective de centre F d'un triangle quelconque de point de Fermat F a pour point de Fermat ce même point F.

NB

Cette construction utilisant les demi-droites du point F aux sommets du triangle entraîne automatiquement qu'aucun angle des triangles en perspective ne dépasse 120°

Cordialement,
Jean-Pol Coulon

pappus

Mon cher gipsyc

Tu dis qu'une projection de centre quelconque (?) conserve les rapports de longueurs, je demande à voir!

Aurais-tu une preuve de cette assertion?

Amicalement

pappus

gipsyc

Bonjour Pappus
J'ai tort, bien sûr.
Exemple

Tout au plus les rapports harmoniques sur plusieurs droites sécantes d'un même faisceau (pinceau) de quatre droites concourantes.

Mais j'ai l'impression qu'il y a une idée à « creuser » dans cette approche projective du point de Fermat ... puisque tous les triangles construits sur les demi-droites  HA, HB et HC du triangle équilatéral sont en perspective de centre H = F le point de Fermat de tous ces triangles.

Merci pour la réponse.
Jean-Pol Coulon