Partie bornée au sens de von Neumann

LoloDJ

Bonjour
Comment montrer que si A est une partie bornée, au sens de von Neumann, d'un espace vectoriel topologique, alors son adhérence l'est aussi ?
Comment montrer que si K est compact, alors K est borné au sens de von Neumann ?

Barjovrille

Quelle est la définition de partie bornée au sens de Von Neumann ?

raoul.S

Barjovrille : Ça veut dire que $A$ peut être absorbé par tout voisinage $U$ de $0$. Concrètement il existe $\lambda\geq 0$ tel que $A\subset \lambda U$.

LoloDJ : tu peux montrer ça facilement en utilisant le fait qu'il existe un système fondamental de voisinages fermés de $0$.

Pour le cas compact : si $K$ est un compact de l'evt $E$ alors soit $U$ un voisinage de $0$ que l'on peux supposer ouvert et équilibré sans perte de généralité. On a $K\subset \bigcup_{n\geq 1} nU=E$. Etc. je te laisse continuer c'est facile

PS. Tu trouveras réponse à toutes tes questions dans ce bouquin.

Barjovrille

Ok merci raoul.

LoloDJ

Ok, merci.
Donc pour montrer que si A est bornée son adhérence l'est aussi, on peut partir d'une base de voisinages fermés de l'origine. Pour cela, il suffit de prendre une base de voisinages de l'origine et pour tout voisinage V de cette base, de prendre l'adhérence de V : elle reste un voisinage de l'origine et elle est un fermé.
Par conséquent, on peut prendre une base de voisinages fermés de l'origine. Comme A est bornée, pour tout voisinage V de cette base, il existe s, strictement positif tel que A est inclus dans sV. Comme le passage à l'adhérence conserve l'inclusion, l'adhérence de A est incluse dans l'adhérence de sV qui est égale à sV.
Donc l'adhérence de A vérifie la propriété sur une base de voisinages de l'origine donc pour tout voisinage de l'origine donc l'adhérence de A est bornée.

Pour K compact. Comme les voisinages de l'origine sont absorbants, si on prend U un voisinage de l'origine ouvert et équilibré, pour tout x de E on peut trouver lambda tel que x appartient à lambdaU. Comme U est équilibré, en prenant un entier naturel n supérieur ou égal à lambda, on a lambdaU inclus dans nU. Donc E est la réunion pour n supérieur ou égal à 1 des nU. Donc K y est inclus. Comme K est compact, on peut extraire de cette réunion, une union finie. Donc K est inclus dans la réunion des nU pour n appartenant à J fini et donc si on appelle j le max de J, on peut même dire que K est inclus dans jU car pour tout n plus petit que j, nU est inclus dans jU puisque U est équilibré.
Maintenant soit V, un voisinage de l'origine quelconque. Il faudrait que je trouve mu tel que U est inclus dans muV. Comme V est un voisinage de l'origine, il est absorbant donc pour tout x de U, je peux trouver k>0 tel que x appartient à kV. Donc je pourrais prendre le sup des k pour x parcourant U mais qu'est-ce qui me garantit qu'il n'est pas infini ?

Bref, je vois que ça n'a pas l'air difficile mais je bloque. Comment finir ?

question subsidiaire : comment taper des mathématiques en recourant aux symboles, sans faire des phrases comme je fais ?

JLapin

Tu peux mettre du LaTeX entre dollars.

Cite un message de ce fil pour voir.

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333030/deux-integrales-pour-ce-jeudi-19-01-2023#latest

raoul.S

@LoloDJ je reviens sur certaines affirmations : 

LoloDJ a dit :

Donc pour montrer que si A est bornée son adhérence l'est aussi, on peut partir d'une base de voisinages fermés de l'origine. Pour cela, il suffit de prendre une base de voisinages de l'origine et pour tout voisinage V de cette base, de prendre l'adhérence de V : elle reste un voisinage de l'origine et elle est un fermé.
Par conséquent, on peut prendre une base de voisinages fermés de l'origine.

Si tu procèdes ainsi tu n'obtiens pas une base de voisinages fermés de l'origine. Je rappelle qu'une base de voisinages fermés de l'origine est un ensemble $\mathcal{F}$ de voisinages fermés de $0$ qui vérifie la propriété suivante : pour tout voisinage $V$ de $0$, il existe $U\in \mathcal{F}$ tel que $U\subset V$.
C'est un poil plus délicat de montrer ceci...

Pour le cas compact ta preuve est bonne. Pour ton problème ici :

LoloDJ a dit :

Maintenant soit V, un voisinage de l'origine quelconque. Il faudrait que je trouve mu tel que U est inclus dans muV...

Bref, je vois que ça n'a pas l'air difficile mais je bloque. Comment finir ?

En fait il se trouve que l'ensemble des voisinages ouverts et équilibrés de l'origine forme un système fondamental de voisinages. Par conséquent, si $V$ est un voisinage quelconque de l'origine alors il existe un voisinage ouvert équilibré $U$ de l'origine tel que $U\subset V$ et c'est fini.

raoul.S

Je te joins ce théorème qui permet en fait de tout démontrer (il vient du bouquin cité précédemment) : 



PS. "balanced" veut dire équilibré au cas où...

LoloDJ

ah oui, merci, effectivement ça ne marche pas mon truc, je suis allé trop vite et l'inclusion ne va pas dans le bon sens.
Bon, donc il faut que je voie aussi ce qu'est un filtre si je comprends bien ?
Existe-t-il un équivalent du livre que tu cites mais en français ?

raoul.S

L'unique livre en français que je connais est le Bourbaki : Espaces vectoriels topologiques. Mais il est plus difficile d'accès par rapport au bouquin de Treves (l'anglais), de plus il fait référence à des résultats qui se trouvent dans les Bourbaki de topologie...

Remarque : Un filtre $\mathcal{F}$ sur un ensemble $E$ est juste un ensemble de parties non vides de $E$, stable par intersection finie et tel que si $V\in \mathcal{F}$ et $V\subset U$ alors $U\in \mathcal{F}$. Dans le cas d'un espace topologique on vérifie facilement que l'ensemble des voisinages d'un point est un filtre.

Voici la preuve que les voisinages fermés de $0$ constituent un système fondamental de voisinages de $0$ : 

Soit $U$ un voisinage de $0$ (tous les voisinages qui suivent sont des voisinages de $0$), alors par le théorème ci-dessus il existe un voisinage $V$ tel que $V+V\subset U$. Toujours par le théorème ci-dessus, il existe un voisinage équilibré $W$ tel que $W\subset V$. Or $W$ étant équilibré, il s'ensuit que $W-W=W+W$ et donc $W-W\subset V+V\subset U$.

Montrons que $\overline{W}\subset U$. Soit $x\in \overline{W}$ alors $x+W$ est un voisinage de $x$, par conséquent il intersecte $W$. Donc il existe $y,z\in W$ tel que $x+y=z$. Ainsi $x=z-y\in W-W$ et pour finir $x\in U$.

Ainsi pour tout voisinage $U$ de $0$ il existe un voisinage $W$ de $0$ qui est fermé et contenu dans $U$, ce qui prouve que les voisinages fermés de $0$ constituent un système fondamental de voisinages de $0$.