Une propriété de $\Gamma$

Magnéthorax

Bonjour
Je lis un article dans lequelles auteurs affirment qu'il est possible de montrer que si $ g : \mathbf{R}_+ \times \left]0,1\right[\to \R_+^*$ satisfait $$
\forall\left( \theta,z\right)\in \left]0,1\right[\times\mathbf{R}_+ \qquad \frac{\Gamma\left(z+1\right)}{\Gamma\left(z+\theta\right)} > g\left(z,\theta\right)
$$ alors $$\forall \left(\theta,z\right)\in \left]0,1\right[\times\mathbf{R}_+ \qquad \frac{\Gamma\left(z+1\right)}{\Gamma\left(z+\theta\right)} < \frac{z+\theta}{g\left(z+\theta,1-\theta\right)}
$$

Ils renvoient pour cela à un article "To appear" d'un des 2 auteurs. Problème : il n'a pas été publié.

Quelqu'un aurait une idée de démonstration ?

gebrane

Non c'est absurde ( Parole du chat) prend g la constante 1. Si ce que tu dis est vraie, alors  $\forall \theta,z\in \left]0,1\right[\times\mathbf{R}_+,  1< z+\theta$

Bibix

Si c'est vrai, il suffit de faire le changement de variable $(z, \theta) \longmapsto (z + \theta, 1 - \theta)$ et d'utiliser $\Gamma(z + \theta + 1) = (z + \theta)\Gamma(z + \theta)$.

Magnéthorax

@Bibix : merci 

gebrane

@"Magnéthorax"

   Mon contre n'est pas valide?

Magnéthorax

@gebrane : je ne comprends pas ton objection.

Typo corrigée : parenthèses ajoutées autour de $z$ et $\theta$.

gebrane

Désolé Erreur de ma part

Magnéthorax

@gebrane : je ne comprends pas ton objection.

Typo corrigée : parenthèses ajoutées autour de $z$ et $\theta$.