Je connais parfaitement mes définitions de borne supérieure et de limite d'une suite. Je ne vois toujours pas, je suis bloqué sur ça depuis 30 minutes.
On a $\inf_{n \in \N} ||x-x_n || \leq ||x-x_n||$ avec $||x-x_n|| \longrightarrow 0$.
Je ne vois pas comment utiliser que $||x-x_n||$ tend vers $0$, on ne peut pas passer à la limite car la borne inférieure dépend de $n$.
Je mets un raisonnement à trous pour OShine (avec ce que je ferais comme démarche).
Soit $E$ un espace vectoriel normé.
La suite $(x_n)$ est une suite d'éléments de $E$ convergente vers $x \in E$.
Donc $\forall \varepsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}$, $..................................$ .
Donc $\forall \varepsilon >0$, le nombre : $0+\varepsilon=\varepsilon$ n'est pas un $..............$ (que peut-on dire de $0+\varepsilon$ pour l'ensemble $\{||x_n-x||, n \in \mathbb{N} \}$? ) .
De plus $\forall n \in \mathbb{N}, ||x_n-x|| \geq 0$ car ......... .
Donc ...... (conclure).
Pour la réciproque, je considère la suite $(u_n)$ d'éléments de $\mathbb{R}$ telle $u_n=(-1)^n$ . On a pour tout entier naturel $n$, $|u_n-1| \in \{0;2\}$ donc $\inf\limits_{n \in \mathbb{N}} |u_n-1|=0$ et cela fournit un contre-exemple je pense car $(u_n)$ est divergente (n'a pas de limite ) .
Ok merci, j'ai fait une confusion avec les variables muettes.
Soit $A= \{ ||x-x_n|| \ | \ n \in \N \}$. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure.
$\forall n \in \N ,\ ||x-x_n|| \geq 0$ donc $A$ est minorée par $0$.
Comme $||x_n-x||$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini, $\forall \varepsilon >0, \ \exists n \in \N, \ ||x_n-x|| < \varepsilon$ donc il existe un élément de $A$ que l'on peut noter $y= ||x_n-x||$ tel que $y< \varepsilon+0$.
Finalement $\boxed{\inf_{n \in \N} ||x-x_n||=0 }$. La suite définie par $u_n=n$ vérifie $|u_n-1|=|n-1|$. On a $\inf_{n \in \N} |n-1| =0$ mais $(u_n)$ ne tend pas vers $1$.
Quand un étudiant sèche sur une question comme ça, il y a 2 cas de figure. S'il ne connaît pas ses définitions, il y a un remède : apprendre les définitions. S'il connaît ses définitions mais qu'il ne sait pas les appliquer, c'est plus grave, il n'y a pas de remède.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Merci lourrran, effectivement je sèche sur ma question et mon cours ne m'aide pas et je sais que c'est très grave. Peux-tu m'aider sur la question (Pour rappel OS n'est pas un étudiant)
Si $a=\inf\limits_{n\in\N}||x-x_n||$ alors puisque pour tout $n\in\N$, $0\leq ||x-x_n||$, l'inégalité $0\leq a\leq||x-x_n||$ est réalisée pour tout $n\in\N$ (définition de la borne inf). D'autre part $||x-x_n||\underset{n\infty}{\longrightarrow}0$...
J'ajoute que puisque la suite est convergente elle est bornée donc $a$ existe car $(||x-x_n||)_{n\in\N}\in\R^\N$.
Soit $A= \{ ||x-x_n|| \ | \ n \in \N \}$. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure.
$\forall n \in \N ,\ ||x-x_n|| \geq 0$ donc $A$ est minorée par $0$.
Comme $||x_n-x||$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini, $\forall \varepsilon >0, \ \exists n \in \N, \ ||x_n-x|| < \varepsilon$ (AU PASSAGE IL MANQUE UN TRUC) donc il existe un élément de $A$ que l'on peut noter $y= ||x_n-x||$ tel que $y< \varepsilon+0$.
Rien n'empêche de prendre $\varphi(n) = 1$, mais $1$ n'est alors plus valeur d'adhérence de $(x_n)_n$, ce qui fait qu'il est difficile de simplifier cette caractérisation avec la suite minimisante.
Je dis peut-être une ânerie mais ton inf n'est pas uniformément borné par un truc qui tend vers 0
OShine a montré que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $y\in A$ tel que $y<\varepsilon$. Mais $\inf A \leq y$ donc on en déduit que pour tout $\varepsilon>0$, $\inf A \leq \varepsilon$ et pour finir $\inf A \leqslant 0$.
Sa preuve est correcte mais il manque le petit passage ci-dessus qui dans le cas d'OShine peut effectivement être suspect...
Réponses
Je ne vois toujours pas, je suis bloqué sur ça depuis 30 minutes.
On a $\inf_{n \in \N} ||x-x_n || \leq ||x-x_n||$ avec $||x-x_n|| \longrightarrow 0$.
Je ne vois pas comment utiliser que $||x-x_n||$ tend vers $0$, on ne peut pas passer à la limite car la borne inférieure dépend de $n$.
Soit $A= \{ ||x-x_n|| \ | \ n \in \N \}$. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure.
- $\forall n \in \N ,\ ||x-x_n|| \geq 0$ donc $A$ est minorée par $0$.
- Comme $||x_n-x||$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini, $\forall \varepsilon >0, \ \exists n \in \N, \ ||x_n-x|| < \varepsilon$ donc il existe un élément de $A$ que l'on peut noter $y= ||x_n-x||$ tel que $y< \varepsilon+0$.
Finalement $\boxed{\inf_{n \in \N} ||x-x_n||=0 }$.La suite définie par $u_n=n$ vérifie $|u_n-1|=|n-1|$. On a $\inf_{n \in \N} |n-1| =0$ mais $(u_n)$ ne tend pas vers $1$.
S'il ne connaît pas ses définitions, il y a un remède : apprendre les définitions.
S'il connaît ses définitions mais qu'il ne sait pas les appliquer, c'est plus grave, il n'y a pas de remède.
Peux-tu m'aider sur la question (Pour rappel OS n'est pas un étudiant)
Lis les messages précédents, on a répondu.
Comment tu passes de :
$\displaystyle \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, x_{\varphi(n)} \to x \Longleftrightarrow \inf_{n \in \mathbb{N}} \|x_n - x\| = 0$.
C'est la caractérisation de la borné inférieure, il y a deux conditions à respecter.
Sa preuve est correcte mais il manque le petit passage ci-dessus qui dans le cas d'OShine peut effectivement être suspect...