Torsion d’un quotient de modules

hockey

Bonjour
Je me suis récemment remis à l’algèbre, et j’ai une question à laquelle je ne parviens pas à trouver une réponse.

Si on considère un anneau A et deux  A module M et N avec N inclus dans M.
Que vaut Tor(M/N) le module de torsion du quotient des deux modules ?
D’avance merci.

Math Coss

Dur à dire sans plus d'informations. Prenons $M=\Z^2$ et $N$ libre de rang $1$. Si $N$ est engendré par $(1,0)$, il n'y a pas de torsion dans le quotient. Si $N$ est engendré par $(n,0)$, la torsion est $\Z/n\Z$, non trivial si $n\ge2$.

Poirot

Soit $x + N \in M/N$ un élément de torsion, avec $x \in M$. Il existe donc $a \in A$ tel que $a(x+N)=ax + N = N$, autrement dit $ax \in N$. La réciproque étant immédiate, on a $\mathrm{Tor}(M/N) = \{x+N \mid x \in M,\ \exists a \in A,\ ax \in N\}$.

hockey

Poirot
Je suis d’accord, mais n’est-ce pas la définition de la torsion de M/N que vous venez de décrire. Car pour le module quotient N=0

hockey

Je suis d’accord, pour les différents cas de figures, le quotient Q/Z est de torsion, là où d’autres ne le sont pas, je me suis demandé si on pouvait lister les différents cas de figure, mais sans succès 

Math Coss

Formulation trop vague...

Poirot

Ben j'ai décrit la torsion de $M/N$, n'est-ce pas ce que tu avais demandé ?