Une propriété des puissances de cinq

Cidrolin

Soit $f$ de $\N$ vers $\N$ telle que : 

$\bullet \quad$si $n<10$, $f(n)=\lfloor \frac n 2 \rfloor$;

$\bullet \quad$ si $n=10n_1+n_2$ avec $n_1$et $n_2$ entiers ($n_2<10$), alors $f(n)=f(n_1)+f(n_2)$.

Par exemple $f(625)=6; \quad f(\frac{10^{2023}-1}{3})=2023; \quad f(1000)=0$.
Calculer $\quad \displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty} \dfrac{f(5^k)}{5^k}$.

Guego

Informatiquement, les $f(5^k)$ pour $k$ entre $0$ et $49$ sont : 0, 2, 3, 3, 6, 4, 8, 10, 11, 10, 18, 18, 13, 9, 14, 18, 26, 24, 29, 26, 27, 27, 29, 32, 37, 34, 34, 40, 38, 36, 39, 46, 49, 38, 47, 39, 49, 44, 54, 60, 57, 60, 64, 66, 71, 52, 48, 55, 63, 71

(il n'y a, semble-t-il, aucune structure ou relation de récurrente apparente)

La somme des $\dfrac{f(5^k)}{5^k}$ pour $k$ entre $0$ et $49$ donne alors $0.5555555555555555$, ce qui laisse conjecturer que le résultat est $\dfrac{5}{9}$.

Je n'ai aucune idée de comment le prouver, mais c'est effectivement rigolo.

Guego

Suite des investigations : $\dfrac{5}{9}-\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{f(5^k)}{5^k} = \dfrac{a_n}{9\times 5^n}$, où $(a_n)$ est la suite 5, 7, 8, 13, 11, 19, 23, 25, 26, 40, 38, 28...

Un coup d’œil à l'oeis nous dit que $a_n$ est la somme des chiffres de $5^{n+1}$. Si on arrive à le prouver, ça règle la question, puisque ça implique $a_n=O(n)$. Plus qu'à le montrer...

jandri

Guego a fait le plus difficile car si on note $S(n)$ la somme des chiffres de $n$ (en base 10) il n'est pas difficile de montrer que $5S(n)-S(5n)=9f(n)$.

Guego

Effectivement, bien joué jandri !

Cidrolin

Merci Guego et jandri.

gebrane

Bonjour,

Pourquoi c'est spéciale à 5 ?, ne peut pas calculer $\quad \displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty} \dfrac{f(7^k)}{7^k}$ ?

Cidrolin

En effet gebrane, en changeant un peu la fonction $f$, on peut trouver que la somme que tu proposes vaut $7/13$.

$f$ doit "agir" selon les chiffres de $n$ en base $14$.

Médiat_Suprème

Il semblerait que la conjecture est : soit $n$ (premier ? impair ?) et soit $f$ la fonction définie par $f(x) = $ somme des parties entières de la moitié de chaques chiffres de $x$ en base $2n$ alors $$\sum_{k=0}^\infty \frac{f(n^k)}{n^k} = \frac{n}{2n-1}$$
Correction de la définition de $f$.

Cidrolin

On a alors : $f(n)=\sum_{k=0}^{\infty} \lfloor 7\times n/14^k \rfloor  -7 \times\lfloor n/14^k \rfloor $

Cidrolin

En effet Médiat_Suprème, pour calculer $f(x)$ on ajoute les parties entières de chaque chiffre  de $x$ divisé par deux.

Par exemple je cherche $f(7^3)$, avec la fonction $f$ ci-dessus.
En base quatorze $343$ s'écrit $1a7$ donc $f(343)=0+5+3=8$

Médiat_Suprème

Ok, je corrige

Cidrolin

Médiat_Suprème a dit :

Il semblerait que la conjecture est : soit $n$ (premier ? impair ?)

Non on peut prendre par exemple $n=50$. Dans ce cas $f(x)$ se calcule facilement.

On découpe $x$ en tranche de deux chiffres à partir de la droite. On divise par deux chaque tranche.

$f(x) $ est  la somme des arrondis.

Par exemple : $x=2812023$ donne $02--81--20--23$ puis $1--40,5--10--11,5$.

On trouve $f(2812023)=1+40+10+11=62$

Médiat_Suprème

À quoi dites-vous non ?

Si c'est sur "premier ?, impair ?" il semble que les calculs de quelques exemples montre que ce serait vrai pour tout $n$

gebrane

Pourquoi tu veux modifier ton f . Gardons ton f original et voyons si on peut dire quelque chose

Cidrolin a dit :

Soit $f$ de $\N$ vers $\N$ telle que : 

$\bullet \quad$si $n<10$, $f(n)=\lfloor \frac n 2 \rfloor$;

$\bullet \quad$ si $n=10n_1+n_2$ avec $n_1$et $n_2$ entiers ($n_2<10$), alors $f(n)=f(n_1)+f(n_2)$.

Je trouve

$s:=\quad \displaystyle \sum _{k=0}^{1000} \dfrac{f(7^k)}{7^k}=0.5646448493249637$

Tu peux copier/coller ce programme dans https://www.programiz.com/python-programming/online-compiler/

import math
def f(n):
    if n < 10:
        return math.floor(n/2)
     
    n1 = n // 10
    n2 = n % 10
    return f(n1) + f(n2)
n = int(input("Entrez un nombre: "))

s = 0
i = 0
while i < 1000:
    term = f(n**i) / (n**i)
    s += term
    i += 1
print("La somme \sum _{k=0}^{1000} \dfrac{f(n^k)}{n^k}  est:", s)

Cidrolin

Médiat_Suprème : je disais non pour $n$ premier,  $n$ impair.

gebrane : avec d'autres valeurs on va perdre le télescopage, et la somme ne sera plus simple.

Amicalement.

Médiat_Suprème

Vous avez la preuve pour tout $n$ ?

Cidrolin

Oui, je vais essayer de rédiger la preuve cette semaine, donc avant le 15 pluviôse 231.

Médiat_Suprème

A 4 février donc.

Quentino37

Je tient à préciser une propriété intéressante, sauf erreur, de la fonction en base n, c’est que f(ab)=f(f(a)f(b)) modulo n Peut-être que l’on pourrait exploiter cela pour trouver de belles formules avec ? La fonction f est aussi periodique (modulo n) de période n-1…(propriétés triviales mais je me demande ce qu’on peut en faire…)