Déterminant d'une matrice antisymétrique

canasson29

Bonsoir à tous,

je vous propose de montrer à l'aide de la seule définition du déterminant que si $A$ est une matrice antisymétrique d'ordre impair,

alors $\det(A)=0.$

Math Coss

Quelle est la définition du déterminant ? L'unique forme $n$-linéaire alternée par rapport aux colonnes qui vaut $1$ en l'identité ? l'unique application multiplicative de l'ensemble des matrices vers le corps qui vaut $1$ en l'identité ? l'application qui à $(a_{ij})$ associe $\sum\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i),i}$ ? l'application qui à $(a_{ij})$ associe $\sum\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma(i)}$ ?

canasson29

La deuxième.

gebrane

Quelle  définition tu veux dire,

mais directement $ \det(A^T)=\det(A)$ et avec les hypothèses on montre aussi que  $ \det(A^T)=-\det(A)$ donc le déterminant  est nul .

Signé le Chat

i.zitoussi

$\det (A^t) = \det(A)$ et, si $A$ est d'ordre $n$, $\det (-A) = (-1)^n \det(A)$. Donc si $A^t=-A$ et $n$ est impair, on obtient $\det(A)=$ $-\det(A)$. Après, je ne suis pas parti de la définition du déterminant mais de certaines de ses propriétés. Quelle définition fallait-il prendre ?

NicoLeProf

On note $A=(a_{i,j}) \in M_n(\mathbb{K})$ donc $\,^t A = (a_{j,i})$ et on a : $\det(A)=\sum\limits_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}=\sum\limits_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}=\det(\,^t A )$ .

De plus, $A$ est antisymétrique donc $\,^t A=-A$ ainsi, $\det(A )=\det(\,^t A )=\sum\limits_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod\limits_{i=1}^n (-1)\times a_{\sigma(i),i}=(-1)^n \det(A)$ .

Par conséquent, $\det(A)(1-(-1)^n)=0$ . Or, $A$ est d'ordre impair donc $n$ est impair et on obtient : $2\det(A)=0 \Rightarrow \det(A)=0$ .

canasson29

On peut le faire comme tu le dis, mais là je souhaite uniquement utiliser $\det(A) = \sum \varepsilon(\sigma) \prod a_{\sigma(i),i}$

Math Coss

Avec la réduction de Jordan, on montre qu'une matrice et sa transposée sont semblables. Par multiplicativité du déterminant, leurs déterminants sont donc égaux. Puis on continue comme les précédents : $\det(A)=\det(A^{\mathsf{T}})=\det(-A)=\det(-\mathrm{I}_n)\det(A)=-\det(A)$ si $n$ est impair.

Force est de constater que la réduction de Jordan va au-delà de la définition du déterminant... Je ne crois pas avoir gagné alors.

canasson29

Celle que j'attends utilise un appariement (c'est un peu tordu).

gebrane

Le déterminant n'est pas toujours nul, il manque une hypothese

canasson29

gebrane
La matrice est supposée d'ordre impair. Sans quoi cela ne marche pas.  Considérer la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ par exemple.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

gebrane

C'est une question piège dans le genre Oral. Je me suis fais piéger une fois de parler de la continuité d'une fonction sans préciser la topologie. Ici si on travaille dans le corps Z/2Z, la matrice I_3 est belle et bien un contre exemple

canasson29

La matrice que tu donnes n'est pas antisymétrique. Mea culpa ! J'aurais dû préciser qu'ici la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique différente de $2.$

JLapin

canasson29 a dit :mais là je souhaite uniquement utiliser $\det(A) = \sum \varepsilon(\sigma) \prod a_{\sigma(i),i}$

 $\det(A^T)=\det A$ découle d'un changement de variable pas trop compliqué et $\det(-A)=(-1)^n \det A$ est une conséquence évidente de la définition.

On en déduit $2\det A=0$ et si $2$ non nul, $\det A=0$.

Par ailleurs, si le corps est de caractéristique $2$, on a $I_3=-I_3$ donc $I_3$ est bien antisymétrique et de déterminant non nul.

canasson29

Tu as parfaitement raison ! C'est la preuve donnée par @NicoLeProf d'ailleurs. Moi je veux un appariement.

JLapin

Qu'est-ce qu'un appariement ?

canasson29

former des paires !

Math Coss

Une esquisse de tentative (ou l'inverse ?). On note $S_i$ l'ensemble des permutations telles que $\sigma(1)=i$. Pour $\sigma\in S_1$, vu que $a_{11}=0$, le terme correspondant est nul. Pour $i\ge2$, on compare le terme correspondant à $\sigma\in S_i$ et celui qui correspond à $(1,i)\sigma(1,i)$, et ces termes sont opposés parce que le facteur $a_{1,\sigma(1)}$ est envoyé sur son opposé et que les autres n'ont pas bougé (wishful thinking...), de même que la signature. Bon, cela n'a pas l'air très clair comme ça mais ça pourrait être un appariement du genre.

canasson29

Peut-être que ce tu proposes marche ! Je ne me suis pas penché sur ta proposition. Il doit y avoir pas mal de mélanges dans tout ça.
Ce que j'ai en tête n'est pas éloigné de tout ce que vous avez tous proposé.
Petite indication : regrouper $\sigma$ et $\sigma^{-1}$ quand cela est possible.