Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme

Modifié (25 Jan) dans Analyse
Bonjour, j'ai un problème pour la question 2 de l'exercice 1, car je souhaite montrer que $\varphi$ est bijective, et pour cela je veux montrer que $\varphi$ est injective et surjective. Et pour montrer que $\varphi$ est injective, je dois montrer que $\ker\,\varphi=\{0\}$. Mais je suis bloqué, comme montré en pièce jointe, car je ne sais pas quoi faire ensuite.
Merci d'avance pour votre réponse.

Réponses

  • Modifié (25 Jan)
    Bonjour.
    Combien de racines pour le polynôme P ?
    Cordialement.
  • Bonjour, je ne sais pas, comment puis-je savoir étant donné que je prends un polynôme P quelconque ?
  • Tu ne regardes jamais ce que tu as écrit ? 
  • Je ne comprends pas, sur quoi voulez vous attirer mon attention ?
  • Bonjour,
    Gérard0 cherche à attirer ton attention sur le fait que tu écris sur un polynôme $P\in \mathbb R_n[X]$ tel que $P(a_0)=\ldots=P(a_n)=0$. Ce polynôme $P$ n'est certainement pas quelconque !
  • Modifié (25 Jan)
    @Shadows Asgard déjà tu as l'égalité des dimensions entre $\mathbb{R}_n[X]$ et $\mathbb{R}^{n+1}$ donc il suffit de montrer que $\varphi$ est injective. Tu as eu le bon réflexe en prenant $P$ dans le noyau puis tu as écrit sous la forme d'un système que $P$ a combien de racines? Par exemple, tu as écrit : $P(a_0)=0$ alors $a_0$ est racine de $P$, en voilà une première et ensuite... ? ;)
    C'est ce que gerard0 a voulu te montrer !
    Cela te permet de conclure facilement ensuite, n'oublie pas que $P$ est dans $\mathbb{R}_n[X]$ donc que peux-tu dire de son nombre de racines? :)
  • Pour la surjectivité, si on n'a pas envie de montrer l'injectivité, on peut passer par les polynômes interpolateur de Lagrange sinon
  • Modifié (26 Jan)
    Je ne comprends pas, sur quoi voulez vous attirer mon attention ?
    Ben que le polynôme est de degré au plus $n$ et qu'il a $n+1$ racines si il est dans le noyau.
  • J'aurais mis des équivalences dans la question 2) dans ce que tu as rédigé.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!