Une intégrale complexe (ou presque)

SandwichFromage

Bonjour à tous

Si $z$ est un complexe de module différent de $1$, on a $$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \ln | e^{it} - z | \mathrm{d}t = \ln\big(\max(1,|z|)\big) $$ (formule assez stylée).

Je connais une démonstration de cette formule, qui consiste à passer par les sommes de Riemann,
mais je trouve cela assez peu intuitif et satisfaisant parce que vous conviendrez que les sommes de Riemann n'est pas une idée très répandue pour calculer une intégrale.
Pensez-vous qu'il une démonstration plus naturelle et moins "sortie du chapeau" de ce résultat ?

gebrane

Je ne comprends pas  pourquoi tu supposes que le module de z est different de 1   Sur mon téléphone , je n'ai pas vu le log sur le membre de droite

LOU16

message incomplet envoyé par erreur, à supprimer

Pour tout $z\in \C$ tel que $|z|<1 \:\:\log(1-z)= -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac {z^n}n,\:\:\ln|1-z|  =\Re(\log(1-z)).$

Bibix

Vu la tête du résultat, ça doit pouvoir se faire avec le théorème des résidus.

LOU16

Bonsoir
Pour tout $u\in \C$ tel que $|u|<1, \:\:\ln|1-u|=\mathrm{Re}\left( -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac {u^n}n \right).$

"En faisant" $u =\rm e^{\rm i t}z^{-1}\:$ ou $ \: u=\rm e^{-\rm i t}z,\: $ on obtient:

$\bullet$ Si $ |z|>1,\:$ alors$\:\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\ln|\mathrm  e^{\mathrm it}-z|\mathrm dt=\int_{-\pi}^{\pi}\ln|z|\rm dt-\mathrm {Re}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\mathrm e^{\mathrm i nt} z^{-n}}{n }\mathrm dt\right)=2\pi\ln|z|.$

$\bullet$ Si $|z|<1,\:$ alors $\:\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\ln|\mathrm  e^{\mathrm it}-z|\mathrm dt= \int_{-\pi}^{\pi}\ln|\mathrm e^{\rm i t}| \rm dt-\mathrm {Re}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\mathrm e^{-\mathrm i nt}z^n}n\mathrm dt\right)=0.$

(Les séries $\displaystyle t\mapsto(\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\mathrm e^{\mathrm i nt}z^{-n}}{n}$ et $\:\displaystyle t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\mathrm e^{-\mathrm i nt}z^n}n$ convergent normalement sur $[-\pi,\pi].$)

gebrane

ChatGTP a évolué, j' ai demandé ceci

peux tu démontrer que \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \ln | e^{it} - z | \mathrm{d}t = \ln\big(\max(1,|z|)\big)

Sa première réponse était

La démonstration de cette égalité nécessite des connaissances en analyse complexe. Je peux vous donner une idée générale de la démarche, mais il faudrait que vous ayez une certaine familiarité avec les outils mathématiques nécessaires pour suivre les étapes en détail.

En utilisant les propriétés de la fonction logarithme népérien et de la fonction de module, il est possible de décomposer l'intégrale ci-dessus en deux parties: une partie qui se trouve dans le cercle unité et une autre partie qui se trouve en dehors de ce cercle. En utilisant des propriétés des intégrales sur des chemins fermés, on peut montrer que la partie qui se trouve en dehors du cercle unité est égale à zero. En utilisant des propriétés de la fonction logarithme népérien et de la fonction de module, on peut ensuite montrer que la partie restante de l'intégrale est égale à ln(max(1,|z|)).

Il est important de noter que cette démonstration n'est pas triviale et nécessite une bonne compréhension des propriétés des fonctions logarithme népérien et de module, ainsi que des propriétés des intégrales sur des chemins fermés. Il est donc recommandé de consulter une source plus détaillée pour une compréhension complète de cette démonstration.

j'ai insisté et  il m'a donné une preuve, il commence à réfléchir  ce bot . Testez par vous même.

 La preuve  ( à vérifier ) q'il donne n'est pas référencé par le moteur de recherche Approch zero  (on y voit plusieurs preuves par exemple  preuves  de la  question   )

Audeo

Et pour la première formule de @LOU16, on peut fixer $u$ et considérer la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(t)=\left(1-tu\right)\mathrm \exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(tu)^n}{n}\right)$ ; $f$ est dérivable sur $[0,1]$ et de dérivée nulle, d'où $f(1)=f(0)=1$ ; il ne reste plus qu'à : 1) multiplier par $\exp\left(-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{u^n}{n}\right)$, 2) prendre le module, 3) prendre le logarithme népérien.

Audeo

@LOU16 : Il me semble qu'il faudrait supprimer les "$\int_{-\pi}^{\pi}$" dans la dernière ligne de votre message précédent.

LOU16

@Audeo , En effet. Merci.

SandwichFromage

gebrane a dit :

Je ne comprends pas  pourquoi tu supposes que le module de z est different de 1   Sur mon téléphone , je n'ai pas vu le log sur le membre de droite

Euh le membre de droite $\ln \max(1,|z|)$ si $z$ est de module $1$ il est très bien défini ; c'est surtout quand $t$ décrit $[-\pi,\pi]$ le $e^{it}$ va être égal à $z$ à un moment donné et $\ln 0 $ je sais pas trop ce que c'est

Sinon le truc avec ChatGPT m'a énormément surpris ! Certes on m'avait dit qu'il faisait des dingueries mais que c'était pas parfait, là ce qu'il dit est vraiment digne d'un élève de Master ; je n'ai pas compris par contre, c'est quoi Approach Zero ? Et aussi le lien que tu donne de AoPS montre que le bot a trouvé la preuve en ligne ou pas ? :O 

gebrane

Approch zero est le moteur diabolique qui a été tenu caché pendant de longues années par etanche  . Le voila  https://approach0.xyz/search/

etanche

@ gebrane tu exagères je n’ai le pouvoir de cacher le moteur de recherche approach0xyz. Ce moteur est mentionné sur mathsStackexchange ou MathOverflow dans les discussions depuis longtemps. 

gebrane

Je n’exagère pas car tu l'a donné seulement les jours de l'avent

SandwichFromage

Merci pour vos réponses les autres sinon ^^

etanche

@ gebrane approach0xyz avait été cité dans un autre fil par un autre membre du forum bien avant que je le cite récemment. Je n’ai rien caché. Cesse de me pointer du doigt. Merci

SandwichFromage

(Et merci @gebrane aussi bien sûr)