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Reformulation axiomes de groupe Perrin

Modifié (25 Jan) dans Algèbre
Bonjour à tous :)
Dans un texte intitulé Des axiomes pour la géométrie du collège ? (https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/SurGeometrie/AxiomesDP.pdf ), Daniel Perrin énonce un axiome de groupe donnant sens à l'intuitive notion de superposabilité des figures :

Axiome : Il existe un groupe $G$ de bijections du plan, dont les éléments sont appelés mouvements, tel que :
  • L’image d’une droite $d$ par un mouvement $u$ est une droite $u(d)$ et la restriction de $u$ à $d$ est monotone.
  • L’image par $u$ d’un demi-plan limité par $d$ est un demi-plan limité par $u(d)$.
  • Étant donné deux drapeaux, il existe un unique mouvement qui envoie l'un sur l'autre.
Remarques :
  1. Sur toute droite du plan est postulé une relation d'ordre total sans plus petit ni plus grand élément.
  2. Un drapeau est un triplet $(A, \delta,\mathcal{F})$ où $A$ est un point, $\delta$ une demi-droite d'origine $A$ et $\mathcal{F}$ un demi-plan limité par la droite définie par $\delta$.

Dans le cadre d'un travail il me faut reformuler cet axiome en terme d'action de groupe :

Axiome reformulé : Il existe un groupe $G$, dont les éléments sont appelés mouvements, qui agit fidèlement sur le plan (on note cette action $\star$) de la manière suivante :
  • L’action d'un mouvement $u$ sur une droite $d$ est une droite et l'une des propositions suivantes est vraie :
$\forall A,B \in d, A \leq B \implies u \star A \leq u \star B$
$\forall A,B \in d, A \leq B \implies u \star A \geq u \star B$
  • L'action d'un mouvement $u$ sur un demi-plan limité par $d$ est un demi-plan limité par $u \star d$.
  • L'action de $G$ sur l'ensemble des drapeaux induite par $\star$ est simplement transitive.
Remarques : Je commets plusieurs abus de langages dans ces 3 points.
  1. Dans le premier et deuxième point je parle de l'action de $G$ sur des parties du plan (les droites et les demi-plans) dans la mesure où l'action de $G$ sur le plan $\mathscr{P}$ induit une action de $G$ sur l'ensemble des parties du plan $\mathcal{P}(\mathscr{P})$ (par : $\begin{array}{ll}G \times \mathcal{P}(\mathscr{P})  &\longrightarrow \mathcal{P}(\mathscr{P}) \\ (u,\mathcal{F}) &\longmapsto u \star \mathcal{F} :=\{ u \star A | A \in \mathcal{F} \}\end{array}$ l'extension canonique de $\star$ à $\mathcal{P}(\mathscr{P})$)
  2. Dans le troisième point je parle de l'action  $G$ sur l'ensemble des drapeaux $\mathscr{D}$ induite par $\star$, dans la mesure où $\star$ induit une action de $G$ sur $\mathscr{P} \times \mathcal{P}(\mathscr{P})\times\mathcal{P}(\mathscr{P})$ (par $\begin{array}{ll}G \times (\mathscr{P} \times \mathcal{P}(\mathscr{P})\times\mathcal{P}(\mathscr{P})) &\longrightarrow \mathscr{P} \times \mathcal{P}(\mathscr{P})\times\mathcal{P}(\mathscr{P}) \\ (u,(A,\mathcal{F},\mathcal{F}')) &\longmapsto u \star (A,\mathcal{F},\mathcal{F}') :=(u \star A, u \star \mathcal{F}, u \star \mathcal{F}') \end{array}$) qui, en vertu des deux premiers points de l'axiome, laisse stable l'ensemble des drapeaux $\mathscr{D}$ (au sens où pour tout drapeau  $\mathcal D$ et pour tout mouvement $u$, $u \star \mathcal{D} \in \mathscr{D}$). Cette action de $G$ sur $\mathscr{P} \times \mathcal{P}(\mathscr{P})\times\mathcal{P}(\mathscr{P})$ induit donc une action de $G$ sur $\mathscr{D}$ par $\begin{array}{ll}G \times \mathscr{D}  &\longrightarrow \mathscr{D} \\ (u,\mathcal{D}) &\longmapsto u \star \mathcal{D}\end{array}$, c'est cette action qui est postulée simplement transtitive.
Modulo ces abus de langages, trouvez-vous la reformulation (malgré ses lourdeurs) correcte ?

Je vous prie de m'excuser pour la longueur.

Réponses

  • Comment axiomatiser la notion intuitive suggérée par le mot "personnel" ?
  • @pldx1 le mot "personnel" n'est pas à prendre au pied de la lettre, je le retire volontiers.

    @stfj effectivement Daniel Perrin se dit "tout à fait hostile à une approche par le linéaire (à la Dieudonné)" de la géométrie dans l'enseignement secondaire et plaide pour une utilisation "précoce des cas d’égalité et de similitude des triangles", ainsi que pour une "utilisation plus intensive des invariants".

    Mon problème est de savoir si l'axiome et l'axiome reformulé sont bien équivalents.
  • Modifié (25 Jan)
    En quoi l'Axiome de Daniel Perrin implique-t-il que l'action soit fidèle ? $\forall x\in \mathcal{P}, \ g\star x=x \iff g=1_{\mathcal{P}}$. Ok, jusque-là tout va bien et les deux premiers points ne posent pas problème. Seule la notion de drapeau de D. Perrin est bizarre. Tu pourrais développer "qui, en vertu des deux premiers points de l'axiome, laisse stable l'ensemble des drapeaux" ?
  • Une remarque : c’est presque comme ça depuis 2016 [l’égalité des triangles comme axiomes (ils sont trois si je ne me trompe pas) et toutes les démos les utilisent]. Enfin… ça c’est la théorie, mais est-ce que c’est fait comme ça, je ne crois pas. Pour certaines démonstrations, il me semble que ça joue le marteau pour écraser une mouche. 
  • @Dom : presque mais pas tout-à-fait. En effet, les cas d'égalité des triangles sont vus en 4e alors qu'ils permettent de démontrer les théorèmes de 5e que le programme nous demande de faire admettre aux élèves (en leur montrant des figures où ça a l'air de marcher tout en essayant de les convaincre qu'en maths on démontre). Quand les cas d'égalité des triangles sont vus, ils ne servent plus à rien et on utilisera les résultats admis en 5e. De toute façon, des tas de hors-classe n'enseignent pas les cas d'égalité des triangles parce que bon c'est vieux plus personne fait ça. 
  • @Sato : et que dire des professeurs exceptionnels ? ;):):)
  • Modifié (26 Jan)
    $\newcommand{\Sym}{\mathfrak{S}}$Merci pour ta réponse @stfj
    Si $G$ est un sous-groupe du groupe symétrique du plan $\Sym(\mathscr{P})$, alors $G$ agit sur le plan par $\begin{array}{ll}G \times \mathscr{P}  &\longrightarrow \mathscr{P} \\ (u,A) &\longmapsto u(A) \end{array}$.
    Le morphisme de $G$ dans $\Sym(\mathscr{P})$ associé à cette action est :
    $\phi : \begin{array}{ll}G &\longrightarrow \Sym(\mathscr{P}) \\u &\longmapsto \phi_u : \begin{array}{ll}\mathscr{P} &\longrightarrow \mathscr{P} \\ A &\longmapsto u(A) \end{array} \biggr] u\end{array}$
    $\phi$ est donc l'injection canonique de $G$ dans $\Sym(\mathscr{P})$. Puisque $\phi$ est injectif, l'action de $G$ sur le plan est fidèle. stfj a dit :
     Seule la notion de drapeau de D. Perrin est bizarre. Tu pourrais développer "qui, en vertu des deux premiers points de l'axiome, laisse stable l'ensemble des drapeaux" ?
    Soient $\mathcal{D}=(A,\delta,\mathcal{F})$ un drapeau, $\Delta$ la droite définie par $\delta$ et $u$ un mouvement.
    On a $u \star \mathcal{D}=(u \star A, u \star \delta , u \star \mathcal{F})$, où $u \star \mathcal{F}$ est un demi-plan limité par la droite $u \star \Delta$ (d'après le deuxième point de l'axiome).
    Ensuite $\delta \subset \Delta$ donc $u\star \delta \subset u \star \Delta$, et du premier point de l'axiome on doit pouvoir déduire (D. Perrin ne détaille pas ce point) que $u \star \delta$ est une demi-droite d'origine $u \star A$, ce qui fait bien de $u \star \mathcal{D}$ un drapeau.
  • DomDom
    Modifié (26 Jan)
    Sato,
    cela m’étonne 🤔
    je pensais que c’était abordé dès la 5e dans les programmes officiels. 
    Je viens de regarder, tu as raison, c’est écrit dans « attendus de 4e ». On peut discuter de la manière dont c’est dit mais pour « attendus de 5e » ce n’est pas dit. 
  • Dans les attendus de 5e, il y a "savoir tracer des triangles", à partir des 3 longueurs, connaissant un angle entre deux côtés, etc. Et comme il y a les cas d'égalité dans les attendus de 4e, et que c'est présenté sur 3 colonnes et que si c'est dans la colonne du milieu et pas dans celle de gauche il faut en déduire qu'on ne le fait pas durant l'année de la colonne de gauche, eh bien on en déduit qu'il ne faut pas le faire en 5e. Avec les cas d'égalités, on pourrait aussi faire plein de petites démonstrations sur les angles alternes internes, la somme des angles d'un triangle, le triangle isocèle et la médiatrice, pourquoi pas la bissectrice pour les plus forts, et tout ça c'est en 5e.
    Dans le même ordre d'idées, il y a l'aire du parallélogramme après celle du triangle obtus.
    Enfin bref, le programme est monté à l'envers. Ou il a été torché n'importe comment, mais sur cet aspect, ce n'était pas forcément mieux avant.
  • Modifié (26 Jan)
    Mais les programmes étant organisé par cycles, qu'est-ce qui empêche d'enseigner les triangles égaux dès la 5e ?
  • Les changements incessants d'élèves, de profs et de bahuts.
    Avec le covid, les profs non remplacés, les classes foutoir etc., c'est déjà ingérable, alors avec un programme différent par prof et par classe, ben... c'est vrai que ça ne devrait pas être pire qu'ingérable, mais par principe on évite.

    Il y a aussi Javert.
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