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Corps fini et nombre premier

Modifié (24 Jan) dans Algèbre
Bonjour
Je ne comprends pas la solution de la question 3.


Réponses

  • Il serait peut-être bon de lire la définition de l'ordre d'un élément dans un groupe...
  • On se place dans le groupe multiplicatif $K^*$. Le sens <= de l'équivalence est évident. Pour l'autre sens, on utilise le fait que $5$ est un nombre premier et que $\alpha \ne 1$.
  • @OShine : bonjour. Veux-tu déposer des reproductions travaillées afin de prendre le moins de place possible, s'il te plait ? Hier, j'ai passé du temps, inutilement gaspillé, à en reprendre quelques-unes que tu avais déposées. Je n'ai plus cette patience, ni le temps de faire ton travail. Je te remercie par avance.
  • @Thierry Poma d'accord.

    Ok merci, j'avais oublié le corollaire suivant : 
    Soit $G$ un groupe et $a \in G$ tel que $a \ne 1$. Si $p$ est un nombre premier tel que $a^p=1$ alors $a$ est d'ordre $p$. 
  • Modifié (24 Jan)
    Oui OShine, tout simplement parce qu'on ne va pas s'amuser à apprendre chaque corollaire par cœur. Saurais-tu le démontrer ce joli corollaire? C'est tout simple ! ;)
    Tout simplement, sans se souvenir du cours (uniquement des définitions/notions de base) si $\alpha$ est racine de $P$ alors $P(\alpha)=0$ donc $\alpha^5=1$ . Ainsi, l'ordre de $\alpha$ divise $5$ (théorème de Lagrange) donc $\alpha$ est d'ordre $1$ ou $5$ dans $\mathbb{K}^*$. Comme $\alpha \neq 1$, $\alpha$ est d'ordre $5$ . La réciproque est évidente.
    Si tu ne te rappelles plus des corollaires du cours, tu peux toujours réfléchir par toi-même en traduisant les hypothèses de l'exercice. C'est comme cela que je conçois les mathématiques ! ;)B):)
  • @NicoLeProf en effet merci !
  • Modifié (25 Jan)
    Je bloque sur le corrigé de la question 5.a.
    Je ne comprends pas pourquoi l'élément pris dans $K \backslash \{1 \}$ est forcément dans $K^{*}$.
    Je ne comprends pas pourquoi il existe dans $K^{*}$ un élément $\alpha$ d'ordre $5$. 

  • Modifié (25 Jan)
    C'est pourtant simple OShine pour ta première question au moins, je reformule et détaille à fond le corrigé :
    sens direct : supposons que $\alpha \in K \setminus \{1\}$ est racine de $P$ alors $\alpha^5=1$ donc $\alpha \neq 0$ et $\alpha \in \mathbb{K}^*$ . De plus, $\alpha \neq 1$ donc d'après la question 3), $\alpha$ est d'ordre $5$ dans $\mathbb{K}^*$ (nous sommes dans les conditions nous permettant d'utiliser la question 3) .
    Donc le cardinal de $K^*$ qui est $p^n-1$ est divisible par $5$ (l'ordre de $\alpha$) d'après le théorème de Lagrange. 
    Réciproquement, supposons que $p^n-1=card(K^*)$ est multiple de $5$ . Comme $K^*$ est cyclique (lorsque $K$ est un corps fini, le groupe multiplicatif $K^*$ est cyclique), alors il existe $\varphi(5) \geq 1$ éléments d'ordre $5$ (en effet, pour tout diviseur $d$ de $card(K^*)$, il y a exactement $\varphi(d)$ éléments d'ordre $d$ dans $K^*$) . Il en existe donc au moins $1$ que l'on note $\alpha$ donc $\alpha \neq 1$ et $\alpha^5=1$ donc $\alpha$ est racine de $P$ dans $K$ .
  • Retour faire des sujets d'ENS alors, c'est sûrement plus simple !
  • Modifié (25 Jan)
    @NicoLeProf ok merci, mais j'ai un doute si $p^n-1=0$ on fait comment ? $0$ est bien un multiple de $5$...
    J'avais oublié que comme $K$ est un corps, le seul non inversible est $0$ mais $0$ n'est pas racine ici.
    Pour l'autre $K^{*}$ est cyclique de cardinal $p^n-1 = 5q$ donc il admet un unique sous-groupe d'ordre un diviseur de $5q$. Or $5$ est un diviseur de $5q$ donc il existe un unique sous-groupe d'ordre $5$.
    Le théorème suivant est très important en arithmétique :
    Soit $C_n$ un groupe cyclique à $n$ éléments et $a$ un générateur de $C_n$.
    Pour tout diviseur positif $d$ de $n$, il existe un unique sous-groupe $H_d$ de $C_n$ ayant $d$ éléments. Si $n=dd'$ alors $H_d =\, <a^{d'}>\,=\{1,a^{d'}, \dots, a^{(d-1)d'} \}$.
  • Je ne comprends pas le corrigé de la dernière question non plus.

    c) Supposons que $p=7$. Calculons l'ordre de $\bar{7}$ dans $F_5 ^{*}$.   (pas compris pourquoi on fait ça)
    On a $7^2 \equiv -1 [5]$ donc $\bar{7}$ est d'ordre $4$ dans $F_5 ^{*}$.
    On en déduit que le plus petit corps à $7^n$ éléments contenant toutes les racines de $P$ est $\mathbb{F}_{7^4}$ (pas compris le rapport avec ce qui précède ni comment on trouve le plus petit corps à $7^n$ éléments contenant les racines de $P$.)

  • OShine a dit :
    @NicoLeProf ok merci, mais j'ai un doute si $p^n-1=0$ on fait comment ? $0$ est bien un multiple de $5$...
    $p^n-1$ ne peut pas être égal à $0$, souviens-toi de toutes les hypothèses de l'exo : $p$ est premier donc $p \geq 2$ .
    Si tu veux mais la proposition faisant intervenir la fonction indicatrice d'Euler suffit (voir mon message précédent).
  • Modifié (25 Jan)
    OShine a dit :
    Je ne comprends pas le corrigé de la dernière question non plus.
    Bon, ce n'est pourtant pas sorcier.
    Voilà comment je réfléchis : on aimerait bien utiliser les questions précédentes donc il faudrait regarder $7$ modulo $5$ (qui n'est pas congru à $1$ modulo $5$ donc on va regarder les conditions de la question 5)) puis $7^n$ modulo $5$ d'où l'intérêt de regarder ce qu'il se passe dans $\mathbb{F}_5^*$ (en fait, on veut connaître l'ordre de $\bar{7}$ dans $\mathbb{F}_5^*$ pour voir quelle question appliquer (ce qui revient à connaître le plus petit entier $n$ tel que $7^n \equiv 1 \pmod 5$) .
    De toute façon, pour que $P$ ait une racine dans $K \setminus \{1\}$, il faut et il suffit que $p^n \equiv 1 \pmod{5}$ lorsque nous sommes dans les conditions de la question 5. Donc en trouvant l'ordre de $\bar{p}$ dans $\mathbb{F}_5^*$, on aura le plus petit entier $n$ tel que $P$ ait une racine dans $K \setminus \{1\}$  ! Il faut donc trouver l'ordre de $\bar{7}$ dans $\mathbb{F}_5^*$ .
    Et là, gros coup de chance : on trouve que $\bar{7}$ est d'ordre $4$ dans $\mathbb{F}_5^*$ donc d'après la question 5) b), $P$ a en plus toutes ses racines dans $K$ qui est de cardinal $p^n=7^4$ .
    $K$ est donc le corps à $7^4$ éléments qui contient toutes les racines de $P$ et c'est le plus petit corps à $7^n$ contenant toutes les racines de $P$ (en effet, si $n=1$ ; $2$ ou $3$ , $K$ ne contiendra pas de racines dans $K \setminus \{1\}$ d'après 5) a) ) donc $K=\mathbb{F}_{7^4}$ qui n'est pas $\mathbb{Z}/7^4 \mathbb{Z}$ : qui n'est pas un corps (pour rappel !)
    C'est exactement la même chose pour $p=19$ !
  • Merci ! Oui tu as raison, on note : $\mathbb{F}_{7^4}$ est l'unique corps à $7^4$ éléments, en effet il en existe un unique à isomorphisme près. Tu as bien fait de le rappeler j'aurais pu tomber dans le piège de penser que c'est $\Z / 7^4 \Z$ qui n'est pas un corps car $7^4$ n'est pas premier ! 

    Si $p=19$, on a $19 \ne 5$ et $19 \not \equiv 1 [5] $ et $19^2 =361 \equiv 1 [5]$ donc $\bar{19}$ est d'ordre $2$ dans $\mathbb{F}_5 ^{*}$. Le plus petit corps à $19^n$ éléments contenant toutes les racines de $P$ est donc $\mathbb{F}_{19^2}$.

    Après que tu aies expliqué, ça a l'air facile  :p 
  • Ravi de t'avoir aidé mais je me suis un peu enflammé pour $p=19$, que dit le corrigé? Car $\bar{19}$ est d'ordre $2$ dans $\mathbb{F}_5^*$ et non d'ordre $4$ en effet donc on ne peut pas appliquer la question 5) b). Donc ce n'est pas exactement pareil que pour $p=7$ .
  • Le corrigé a écrit pareil que moi, on utilise la question 5.a ... Pourquoi tu veux utiliser 5.b ? 
  • Parce que la 5) a) ne dit pas que toutes les racines de $P$ sont dans $\mathbb{K}$ : c'est ça que me gêne un peu...
  • Modifié (26 Jan)
    Bonjour, je ne vois pas l'intérêt d'éliminer le cas $p \equiv 1 \pmod 5$ dans la question 5. En effet, tout ce qui suit reste vrai pour $n=1$.
    Pour 5.c, je dirais que de manière générale, on sait par 5.b. que pour $p \ne 5$, $\mathbb F_{p^4}$ contient toutes les racines de $P$, donc il existe un plus petit sous-corps à $p^n$ éléments qui contient toutes les racines de $P$ : cela ne peut être que l'un de ces 3 sous-corps $\mathbb F_p \subset \mathbb F_{p^2} \subset \mathbb F_{p^4}$.
    Soit alors $\alpha \in \mathbb F_{p^4} \setminus \{1 \}$ racine de $P$, et $n \in \{1,2,4 \}$, alors $\alpha \ne 1$ et $\alpha^5=1$, donc $\alpha$ est d'ordre 5 (par la question 3.). Alors $\alpha \in \mathbb F_{p^n}$ ssi $\alpha^{p^n}=\alpha$ (car $\mathbb F_{p^n}$ est le corps de décomposition du polynôme $X^{p^n}-X$) ssi $\alpha^{p^n-1}=1$ (car $\alpha \ne 1$) ssi $5 \mid p^n-1$ (par propriété de l'ordre d'un élément dans un groupe) ssi $p^n \equiv 1 \pmod 5$.
    Donc le plus petit sous-corps qui contient toutes les racines de $P$ est le plus petit entier $n$ tel que $p^n \equiv 1 \pmod 5$.
    Il ne reste plus qu'à vérifier que pour $p=7$, alors $n=4$, et que pour $p=19$, alors $n=2$.
  • @Julia Paule
    Tu parles de corps de décomposition, cette notion n'est pas abordée dans ce livre. 
    Ton raisonnement semble plus compliqué que celui du livre.
    Le corrigé de 5c dans le livre prend 3 lignes. 

    L'hypothèse $\bar{p} \ne 1$ permet de dire que l'ordre de $\bar{p}$ dans $F_5 ^{*}$ est $2$ ou $4$. On en déduit que si $n=4$, $P$ a au moins une racine $\alpha \in K \backslash \{1 \}$. 
    Puisque $\alpha^5=1$, $\alpha^2$, $\alpha^3$, $\alpha^4$ sont aussi des racines de $P$ dans $K$. 
  • Modifié (26 Jan)
    Ce qui me dérange dans le cas où on a $p=19$ est que l'on sait uniquement qu'il existe une racine de $P$ dans $\mathbb{K} \setminus \{1\}$ si $n=2$ . Mais rien ne nous dit dans l'énoncé que le corps $K$ à $19^2$ éléments contient toutes les racines de $P$, il faut le prouver ! La question 5 b) est utilisable seulement lorsque $n$ vaut $4$. Le corrigé de la question 5 c) ne me satisfait donc pas du tout dans le cas : $p=19$ ...
    Donc merci Julia Paule pour la preuve qui me paraît bien plus rigoureuse ! ^^'
  • Modifié (26 Jan)
    @NicoLeProf
    Perso je ne suis pas en mesure de comprendre sa preuve, je n'ai pas étudié la notion de corps de décomposition.
    Tu dois regarder le corrigé de la question 5.b avant de juger.
    Les racines sont données dans le corrigé de la question 5.b... Ce sont les mêmes racines pour $p=19$ il me semble, la détermination des racines ne dépend pas de $n$ non ?


  • Modifié (27 Jan)
    Par définition, $K=\mathbb F_{p^n}$ est corps de décomposition du polynôme $X^{p^n}-X$, cela veut dire que $\alpha \in \mathbb F_{p^n} \Leftrightarrow \alpha$ racine de $X^{p^n}-X \in \mathbb F_p[X]$, i.e. le corps de décomposition est défini comme le corps contenant toutes les racines du polynôme $X^{p^n}-X$.
    Puis, tous les corps de même cardinal sont isomorphes à ce corps, que l'on note de manière générique $\mathbb F_{p^n}$ (ou bien $\mathbb F_p^n$ vu comme un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb F_p$).
    En effet, @O'Shine, ma démonstration est plus compliquée car j'ai démontré une propriété générale sur $p$ (pas uniquement $p=7$ ou $p=19$).
    On peut faire plus simplement, pour $p \ne 5$ (afin que toutes les racines de $P$ soient distinctes, en particulier que $P$ ait des racines autres que $1$ dans un corps éventuellement plus grand que $\mathbb F_p$) :
    - si $p^n \not \equiv 1 \pmod 5$, alors $P$ n'a pas de racines dans $\mathbb F_{p^n} \setminus \{1 \}$ (d'après 5.a), donc $P$ n'a pas de racines autres que $1$ dans $\mathbb F_{p^n}$ (car elles sont toutes distinctes), donc en particulier $P$ n'a pas toutes ses racines (possibles et imaginables, qui sont au nombre de 5 car $P$ est de degré 5) dans $\mathbb F_{p^n}$,
    - si $p^n \equiv 1 \pmod 5$, alors $5 \mid p^n-1$, alors soit $\alpha$ racine de $P$ dans un corps plus grand, on a $\alpha^5=1$, donc $\alpha^{p^n-1}=1$, donc $\alpha^{p^n}=\alpha$, donc $\alpha \in \mathbb F_{p^n}$, i.e. toutes les racines de $P$ sont dans $\mathbb F_{p^n}$ ; il me semble que cette contraposée n'est pas démontrée dans les points précédents (mais seulement par 5.a que $\mathbb F_{p^n} \setminus \{1 \}$ contient au moins une racine).
    On obtient que $P$ a toutes ses racines dans $\mathbb F_{p^n}$ ssi $p^n \equiv 1 \pmod 5$.
    De là, c'est facile pour $p=7$ et $p=19$.
    Je pense que c'est le genre de démonstration que l'on ne comprend vraiment que si on la fait soi-même.
  • A mon avis, dans la solution du livre de 5.c pour $p=19$, on ne peut pas conclure directement des points précédents et du fait que $19$ d'ordre 2 dans $\mathbb F_5^*$, que $\mathbb F_{19^2}$ contient toutes les racines de $P$. D'où ton interrogation justifiée @NicoLeProf !
  • Si $\alpha\neq 1$ est une racine de $P=X^5-1$ dans un corps $K$, alors $P$ a toutes ses racines $1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4$ dans $K$.
  • En effet @gai requin, c'est rajouté dans la correction du 5.b (que je n'avais pas vue). Mais ce n'est pas dans cette question, d'où l'embrouille.
    Finalement, il y a deux embrouilles dans cet exo : la supposition inutile $p \not \equiv 1 \pmod 5$ de la question 5., et un résultat intermédiaire non demandé et démontré dans une réponse , utilisé dans une question suivante.
  • @Julia Paule
    La supposition $p \not \equiv 1 [5]$ n'est pas inutile. L'auteur dit bien $\bar{p} \not \equiv 1 [5]$ donc l'ordre de $\bar{p}$ dans $F_5 ^{*}$ est $2$ ou $4$.
    Sans cette hypothèse, il pourrait être d'ordre $1$ ! 

    @gai requin
    Les $\alpha^{i}$ sont distincts car $\alpha$ est d'ordre $5$ donc il engendre un sous-groupe d'ordre $5$ : $ H= <\alpha>= \{ \alpha, \alpha^2,\alpha^3,\alpha^4 \}$ ? 
  • @O'Shine, ce n'est évidemment pas inutile pour ce que dit le corrigé quant à l'ordre de $p$ dans $F_5^*$, mais ce corrigé pourrait dire simplement que l'ordre de $p$ divise $4$, cela marcherait aussi pour la conclusion (c'est celle du 4.).
    Je veux dire par là que c'est inutile pour la conclusion qu'on veut obtenir : si $p^n \equiv 1 \pmod 5$, alors $P$ a toutes ses racines dans $\mathbb F_{p^n}$ (et c'est une équivalence).
  • Merci Julia Paule, c'est effectivement par rapport au corrigé de 5. c) que je me posais la question pour $p=19$ . 
    En effet, après avoir lu le corrigé de la 5) b), je comprends mieux la correction de la 5. c). Une question intermédiaire aurait pu être ajoutée du coup. L'exercice est un peu "embrouillé" en effet ! :D
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