Deux cordes égales

Jean-Louis Ayme

Bonjour
Un simple problème pouvant être traité par une transformation..
Je propose d’en trouver une solution élémentaire…

1. (U), (V) deux cercles sécants

2. M, N les points d’intersection de (U) et (V)

3. A, D deux points resp. de (U), (V) tels que A, M et D soient alignés

4. B, C deux points resp. de (U), (V) tels que B, M et C soient alignés.

Question :             si, (MN) est la M-bissectrice intérieure du triangle MAC alors, AD = BC.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

pappus

Bonjour à tous

Autrefois au bon vieux temps de la géométrie de nos aïeux, on parlait de triangles semblables et non de la similitude en tant que transformation et le tour était joué, la solution était élémentaire.

Dans l'énoncé on peut laisser tomber l'adjectif "intérieure", le résultat est encore vrai.

Amicalement

pappus

pappus

Bonjour à tous

Dans l'animation ci-dessous, on a constamment $AD=BC$.

Amicalement

pappus

PS

Que peut-on dire des médiatrices des segments $AB$ et $CD$?

Cela c'est le jargon de grand papa!

A la sauce Bourbaki, cela donne: quelles sont les transformations $A\mapsto B$ et $C\mapsto D$?

Jean-Louis Ayme

preuve élémentaire en attente

Sincèrement
Jean-Louis

pappus

Bonjour Jean-Louis

Dans le jargon d'autrefois: pour des raisons d'angles inscrits, les triangles $NAD$ et $NBC$ ont les mêmes angles, ils sont donc semblables.

Si de plus, on impose $AD=BC$, ils deviennent égaux et les hauteurs issues de $N$ sont égales.

Ce n'est pas assez élémentaire?

Amicalement

pappus

jelobreuil

Merci, Jean-Louis et Pappus !

C'est de la géométrie que je puis comprendre, et apprendre !

Mais en fait, Pappus, tu as démontré la proposition réciproque ...

Bien amicialement, JLB

pappus

Mon cher Jelobreuil
Bien sûr c'est facile et on n'a pas appris grand chose !
Si tu veux apprendre, intéresse-toi plutôt à mon exercice sur le tétraèdre !
Amicalement
pappus

Jean-Louis Ayme

Mon cher pappus,

tu ne réponds pas à la question posée...

Amitiés
Jean-Louis

pappus

Mon cher Jean Louis

Excuse moi, tu sais que je fais ce que je peux et que je peux peu!

Je pensais que la question posée était la rédaction d'une preuve élémentaire de cette propriété de $MN$ comme bissectrice de l'angle $\widehat{AMC}$ pour que $AD =BC$.

Alors soit ma preuve n'est pas suffisamment élémentaire à ton gout soit je n'ai rien compris à la question demandée!

J'attends donc patiemment la question et sa solution quand tu voudras bien nous les donner!

Amitiés

pappus

PS

Je n'ai esquissé qu'un schéma de preuve et j'ai été plus intéressé par l'animation de ta jolie figure!

Jean-Louis Ayme

Mon cher pappus,
merci pour ta rapide réponse...

Juste tu écrits : ''si on impose AD = BC''  et sur cela j'ai réagi...

Amitiés
Jean-Louis

pappus

Bonjour Jean-Louis

J'aurais dû dire: $MN$ bissectrice (intérieure ou extérieure) de $\widehat{AMC}$ équivaut à $AD=BC$.

Amitiés
pappus

gipsyc

Bonjour
Autrement dit, dans
• un triangle ABC,
• la A-bissectrice,
• un point P sur celle-ci,
• deux cercles sécants ABP et ACP :

Cercle ABP ∩ AC et BC = resp. E et M
Cercle ACP ∩ AB et BC = resp. F et N
⇒ 
deux triangles congruents FBN et CEM, semblables au triangle de référence

Illustration

P en dehors du triangle ABC

P à l'intérieur du triangle ABC

Cordialement,
Jean-Pol Coulon

pappus

Bonjour à tous
Il faut lire les cercles sécants $ABP$ et $ACP$.
L'application affine $NBF\mapsto MEC$ est une rotation de centre $P$.

Amicalement

pappus

gipsyc

Merci pappus
J'avais déjà corrigé et complété pendant que vous postiez votre réponse.
La rotation de centre P

Remarque.

Si P est positionné au niveau du centre I du cercle inscrit, les deux triangles construits et le triangle de référence sont congruents.

Question subsidiaire:
• la valeur du rapport d'homothétie entre le triangle de référence et les triangles construits en fonction de la position du point P sur la A-bissectrice.
• l'amplitude de la rotation de centre P entre les deux triangles construits en fonction de la position du point P et des angles du triangle de référence.
JP

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol12.html

puis

A propos de deux cercles sécants 1 ,  Problème 2

Sincèrement
Jean-Louis