Légende du dernier théorème de Fermat

Julia Paule

Bonjour, je viens de découvrir, à la suite des liens donnés en bas de ce message, que la démonstration "merveilleuse" qu'avait (soi-disant) trouvée Fermat dans son dernier théorème, est en fait une légende. Je m'explique.

Je l'avais lu (par exemple) dans "Le dernier théorème de Fermat" de Simon Singh, et dans bon nombre d'articles et/ou d'autres livres.

En fait, la note écrite par Fermat sur son dernier théorème n’a jamais été retrouvée. On en a une description seulement par son fils qui a ré-édité la page qui la contenait en l’augmentant de l’annotation de son père, mais on n’en a aucune autre preuve. La page contenant cette annotation n'a jamais été retrouvée, peut-être détruite par son fils, ni aucun document ou note y faisant référence ou contenant des éléments de cette démonstration.

Cette annotation, si elle a bien été écrite par Fermat, aurait été écrite pour lui seulement, car il n’en a jamais fait allusion dans des lettres envoyées à ses contemporains. Et Fermat ne publiait rien, on a ses travaux seulement par son courrier à ses contemporains, quand il était sûr d'avoir démontré quelque chose. S'il avait été sûr de sa démonstration pour tout $n > 2$, il en aurait parlé dans un de ses courriers, or ce n'est pas le cas.

Il a fait allusion dans son courrier au cas $n=4$ (il dit l’avoir démontré) et $n=3$ seulement (il l’aurait démontré mais on ne sait pas si elle comportait une erreur ou non).

Par contre il a affirmé dans un courrier que tous les nombres de Fermat (du type $2^{2^n}+1$) sont des nombres premiers, alors que c’est vrai pour $n = 0$ à $4$, et faux pour $n = 6$ à $32$, et on ne sait pas après (mais moins d’1 chance sur 1 milliard). Et il avait déjà employé le terme de « merveilleux » pour cette démonstration : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part. ». Donc ce terme n’a rien d’exceptionnel dans ses propos. C’est la seule conjecture erronée de Fermat (47 autres conjectures furent prouvées).

Donc il peut se tromper dans son courrier, et encore il n’a même pas affirmé le dernier théorème de Fermat dans un courrier.

Donc il est fort probable qu’il a écrit cette note pour lui, qu’il s’est trompé car en se vérifiant il ne l’a pas affirmé dans un courrier, qu’il l’a oubliée, que son fils l’a retrouvée, qu’il l’a publiée, et que c’est comme cela que s’est construit cette légende, probablement à cause de ces termes : « merveilleuse démonstration », qui a piqué au vif les mathématiciens, qui ont commencé à publier, et qui de ce fait a continué à piquer au vif les mathématiciens, et les pseudos-mathématiciens aussi, ce théorème est devenu une légende, et finalement a contribué au développement des mathématiques en théorie des nombres, pour le plus grand bien de cette théorie !!!

Il y a aussi que les conjectures en arithmétique sont très faciles à énoncer (tout le monde peut les comprendre), et parfois extrêmement difficiles voire impossibles à démontrer. Ce qui est très trompeur, et c’est ce qui explique pourquoi bon nombre de mathématiciens, et de pseudos-mathématiciens ont voulu ou veulent encore s’y mettre, espérant peut-être (re)trouver la fameuse démonstration de Fermat.

Et voilà pour cette légende de démonstration merveilleuse !!!!!! qui ne repose sur rien …........

Mes références :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_théorème_de_Fermat

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat

Ma question : qu'en pensez-vous, qui avait intérêt à entretenir cette légende, et pourquoi ?

Math Coss

L'absence de preuve d'une note n'est pas la preuve d'une absence de note. Il ait est possible aussi que Fermat ait pensé avoir un argument, qu'il ait écrit sa note avant de voir que l'argument était partiel ou faux. Bref, il me semble que tu vas vite en besogne.

LEG

Bonjour 

[Ma question : qu'en pensez-vous, qui avait intérêt à entretenir cette légende, et pourquoi ?]

Peut être toi ... , pour que l'on parle de toi ... 

Car comme tu le dis , il n'est plus là pour te répondre ...! À quoi bon polémiquer  ?

Julia Paule

@Math Coss Vue la compétition qui régnait à l'époque et l'esprit malicieux de Fermat qui mettait au défi ses contemporains mathématiciens de trouver ce qu'il avait trouvé, sans rien indiquer ou presque de sa solution, il me semble que si Fermat détenait une preuve sérieuse, il ne se serait pas privé de le faire savoir (surtout pour un si bel énoncé, qui se présente comme un prolongement arithmétique du théorème de Pythagore, connu depuis les Grecs).

Comme dans les énigmes policières, mon (intime) conviction est faite. Mais je peux me tromper.

Julia Paule

@LEG, moi j'aurais intérêt à entretenir cette légende ? Mais tu racontes n'importe quoi, comme dans tes précédents messages, relis donc ce que j'ai écrit où je dis l'exact contraire.

Dom

Je retiens qu’il n’y a aucune preuve qu’il ait écrit cela. 

J’ajouterais bien « point final ». 

Georges Abitbol

Merci pour ces informations ; je me suis justement demandé, à la vue du titre du fil, si le livre était exposé quelque part.

Qui a intérêt à entretenir cette légende ? Les personnes qui aiment bien les histoires amusantes, tout simplement ; non ?

Julia Paule

Merci @Dom, c'est ce que je pense, on n'a aucune preuve qu'il ait écrit cela. Et même s'il l'a écrit, il est fort probable qu'il s'est rendu compte lui-même que sa démonstration ne tenait pas.

Ce qui est faux, c'est de dire : "Fermat a écrit que ....", comme je l'ai lu et entendu maintes fois. Ben non, on n'en sait rien.

@GA, oui l'enquête pourrait être poussée plus loin et pourrait faire l'objet d'un livre, qui serait très intéressant !

Dom

Il y a plusieurs cas de citations apocryphes. 

Pour les écrits, en voilà. 

gimax

Merci Julia Paule, j'ignorais ces détails historiques...c'est très intéressant ! J'avoue être perplexe depuis longtemps sur cet engouement par des néophytes sur une preuve élémentaire de Fermat-Wiles. Bien sûr on ne peut pas prouver qu'une telle preuve n'existe pas, mais... Je ne crois pas à l'existence d'une telle preuve. Ma conviction personnelle depuis longtemps était que Fermat s'était tout simplement trompé... là je découvre qu'en fait il n'a peut-être jamais pensé avoir une preuve, c'est intéressant !

qui avait intérêt à entretenir cette légende, et pourquoi ?

Intérêt n'est sans doute pas le bon mot. Les gens aiment rêver et l'idée d'une telle preuve en fait fantasmer plus d'un, des gens qui en général n'ont pas des connaissances en maths très approfondies. De fait, je ne sais pas vous autres qui êtes toujours dans le milieu académique (moi je l'ai quitté il y a déjà quelques années), mais mon expérience du milieu de la recherche mathématique est le suivant : personne (que j'aie connu) dans ce milieu-là ne croit à une preuve élémentaire de Fermat-Wiles.

Entretiennent cette légende des gens qui veulent croire qu'ils pourraient démontrer un grand théorème à coup d'arithmétique niveau lycée. Chacun ses rêves, ces gens-là ne font de mal à personne à part sans doute à eux-même en se berçant d'illusions.

Julia Paule

Merci gimax pour ton retour d'expérience. Pour ma part je l'ai cru, que Fermat pensait avoir trouvé une démonstration de son théorème, et comme ce n'est pas n'importe qui ..., je pensais qu'il y avait une chance pour qu'il y ait une preuve avec les moyens de l'époque. Mais je ne suis pas dans le milieu de la recherche.

Mais maintenant, comme tu le dis, je découvre que probablement il savait s'être trompé, c'est beaucoup plus logique.

J'espère que du coup, si des gens (comme moi) tombent sur ce fil et se renseignent en allant lire Wiki ou une autre vérité historique, ils vont arrêter de perdre leur temps.

@Dom, oui j'ai fait des interprétations par rapport au texte de Wiki, si c'est ce que tu veux dire.

malavita

Bonjour,
il me semble que cette fameuse démonstration repose sur le fait que les anneaux d'entiers sur les corps cyclotomiques sont factoriels. En tout cas, il y a une démonstration relativement simple du théorème de Fermat dans ce cas.

Ce qui est par contre certain, c'est que la recherche de cette fameuse solution simple a généré [engendré ?] pas mal de jolies maths....;-)
A+
F.

Joaopa

C'est à peu près ce que pensent les scrutateurs de Fermat. Si Fermat a pensé à ça, c'est déjà un chef d’œuvre des mathématiques.

biguine_equation

Si il a dit ou écrit cela (dans la marge d’un exemplaire des Arithmétiques de Diophante), ce n’est qu’une extrapolation imprudente faite au début de ses travaux sur la théorie des nombres. Bref: il s’est trompé et il s’en est certainement vite rendu compte. Si il avait cru détenir une piste sérieuse, il s’en serait ouvert auprès des scientifiques avec lesquels il entretenait une correspondance.

biguine_equation

D’ailleurs, Fermat n’hésitait pas à renseigner Pascal sur l’état de ses recherches afin que ce dernier s’en serve pour progresser. C’était vrai en arithmétique autant qu’en probabilités.

Julia Paule

Fermat aurait écrit son annotation dans la traduction en latin du livre de Diophante vers 1637, et il est décédé en 1665. Cela lui laissait une trentaine d'années pour faire connaitre son théorème. Je pense qu'il s'en est bien gardé s'il n'avait pas une preuve sérieuse, car un contre-exemple dans ce genre de théorème peut être trouvé avec de grandes valeurs, comme cela s'est produit avec les nombres de Fermat, ou avec la conjecture d'Euler : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_d'Euler.

Oui pour $p$ premier régulier, on trouve qu'il n'y a pas de solutions à Fermat pour $p \not \mid xyz$ : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_régulier. Mais Fermat ne disposait pas de ces moyens à l'époque, introduits plus d'un siècle plus tard.

Bref, soit Fermat a barré son annotation quand il s'est rendu de son erreur et son fils l'a publié quand même (mais cela n'a pas ma faveur), soit il l'a oubliée, ou plutôt, il a espéré arranger sa solution ou en trouver une autre tôt ou tard, et a laissé l'annotation en attendant. Soit encore il n'a rien écrit du tout, et son fils l'a reproduit comme une conjecture parce qu'il avait entendu son père en parler. On peut tout imaginer. Mais ce qui me parait certain, c'est qu'il n'avait pas de merveilleuse démonstration. Donc cette légende est fausse.

Ha oui @gimax, j'adopte ton point de vue, les gens aiment rêver, et entretenir les légendes. C'est ce qui répond à la question de mon fil.

Merci @biguine_equation.

Georges Abitbol

@Julia Paule : En master, un prof nous a montré une "fausse" démonstration qui suppose justement qu'un anneau est factoriel (alors qu'il ne l'est pas), c'est peut-être de ça dont parle @malavita. Selon le prof, il est plausible qu'au moment d'écrire son truc dans la marge (s'il l'a écrit, bien sûr) ait eu cette "fausse" démonstration en tête. Et peut-être qu'il a lui-même trouvé l'erreur et n'en a pas parlé, comme tu le dis !

Julia Paule

@GA Je ne connais pas suffisamment l'histoire des maths pour dire si Fermat a pu faire pour $n=3$ une factorisation à l'aide des anneaux d'entiers, comme a pu le faire Euler un siècle plus tard pour transformer l'équation en $2a(a^3+3b^3)=z^3$ et donner une expression pour $a$ et $b$ qu'on obtient facilement dans l'anneau $\mathbb Z[i\sqrt{3}]$ qui n'est pas factoriel, d'où une erreur de décomposition (mais qui a été rattrapable en se plaçant dans l'extension factorielle $\mathbb Z[j]$), et se rendre compte qu'il faisait cette erreur. Il me semble que l'idée des anneaux d'entiers et des corps de nombres n'avait pas été encore trouvée du temps de Fermat,mais je peux me tromper. Voici un bon papier : 

http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/fermat/historique du theoreme de fermat.html

Par contre, pour $n=4$, il semble qu'il ait eu la solution.

biguine_equation

Un extrait des travaux de l’historien Jean Itard dans la « Revue d’histoire des sciences ».

Julia Paule

Ah d'accord, merci ! Ceci confirme. Sais-tu s'il a exposé la preuve pour $n=3$ à ses amis ou correspondants, ou seulement affirmé sans preuve ? Cela me parait difficile de démontrer la descente infinie sans l'anneau $\mathbb Z [i \sqrt 3]$.

Sinon, en relisant le livre "Le dernier théorème de Fermat" de Simon Singh, c'est habilement fait pour laisser croire que Fermat a réellement trouvé la solution de son théorème. L'auteur s'est montré plus journaliste que scientifique ...

biguine_equation

Julia Paule: Fermat n’a pas, à ma connaissance, rédigé de preuves pour $n=3$. Il a proposé le problème à Mersenne en 1636. La première preuve écrite, pour $n=3$, étant celle d’Euler.
Fermat croyait aussi que $2^{2^n}+1$ (édit: erreur corrigée. Merci Julia Paule) était premier pour tout $n$. Il avait écrit à Frénicle en août 1640: « Je n’ai pas la démonstration exacte mais j’ai exclu si grandes quantités de diviseurs par démonstrations infaillibles et j’ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurais peine à me dédire. »
Euler avait fourni un contre-exemple. 

Julia Paule

Merci @biguine_equation. Tu veux dire $2^{2^n}+1$. L'intéressant est que Fermat cherchait déjà à l'époque à établir une formule qui donne à coup sûr un nombre premier. Mais bon, il a été honnête en disant qu'il n'avait pas la démonstration exacte.

Quand il avait une démonstration pour un théorème, il mettait au défi les anglais. Cela voudrait dire qu'il n'avait pas la démonstration pour $n=3$. Mais tout laisse à penser qu'il avait quand même une très forte intuition de l'absence de solutions pour $n$ quelconque, sans démonstration, c'est assez curieux. Mais si c'est parce qu'il avait essayé des petites valeurs sans succès, comme pour les nombres de Fermat, cela devient plus plausible.