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Exercice de topologie

Modifié (23 Jan) dans Topologie
Bonjour,
voici deux questions de topologie que j'ai trouvées à deux endroits différents. Je souhaiterais savoir si ma démarche et si ma rédaction sont correctes (ayant encore un peu de mal en topologie...).
Question 1 : soient $A$ et $B$ deux parties d'un espace métrique. On suppose que $A$ est ouverte et que $A \cap B= \varnothing$.
Démontrer que $A \cap \overline{B}= \varnothing$.
Question 2 : soient $(E,d)$ un espace métrique et $A$, $B$ deux parties disjointes et denses dans $E$.
Montrer que $\mathring{A}=\mathring{B}=\varnothing$.
Question 1. Raisonnons par l'absurde. Supposons alors qu'il existe $x \in A \cap \overline{B}$. Alors $x \in A$ et $A$ est ouvert donc il existe $r>0$ tel que $B(x;r) \subset A$ (où $B(x;r)$ est la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r>0$) . De plus, $x \in \overline{B}$ donc il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $B$ qui converge vers $x$.
Alors, pour $n$ assez grand, la suite $(x_n)$ est dans $B(x;r) \subset A$ donc pour $n$ assez grand, la suite $(x_n)$ est élément de $A$ et $B$ , ce qui contredit le fait que $A \cap B= \varnothing$.
Donc $A \cap \overline{B}= \varnothing$.
Question 2.
$A$ et $B$ sont disjointes donc $\mathring{A}$ et $B$ sont disjointes (en effet, s'il existe $x \in \mathring{A} \cap B$ alors $x \in A \cap B$ car $\mathring{A} \subset A$, ce qui est impossible ici).
De plus, $\mathring{A}$ est ouvert donc d'après la question $1$ , $\mathring{A} \cap \overline{B}= \varnothing$.
De la même manière, on a aussi : $\mathring{B} \cap \overline{A}= \varnothing$.
Or, $\overline{B}=\overline{A}=E$ par densité de $A$ et $B$ dans $E$. Ainsi, on obtient : $\mathring{A} \cap E= \varnothing$ et $\mathring{B} \cap E= \varnothing$ donc $\mathring{A}=\mathring{B}=\varnothing$.
À la base, je voulais vous présenter une deuxième méthode sans utiliser la question 1 pour faire la question 2 mais au final, ça revient quasiment à faire le travail de la question 1 en prenant $\mathring{A}$ au lieu de $A$...
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Réponses

  • Modifié (23 Jan)
    Oui, c'est très bien.
  • Modifié (23 Jan)
    Pour la question 1) il y a plus direct ! 

    Supposons $A \cap \overline{B}$ non vide et soit $x \in A \cap \overline{B}$. $A$ étant ouvert, c'est un voisinage de $x$ et puisque $x \in \overline{B}$, $A \cap B$ est non vide(définition de l'adhérence, enfin je dis ça mais laquelle as-tu apprise ?), ce qui contredit l'hypothèse.

    EDIT : enfin, ça revient un peu au même que ce que tu as fait, mais en se passant des suites si on sait déjà qu'un élément de l'adhérence d'une partie $A$ d'un espace métrique a ses voisinages qui rencontrent $A$(c'est la définition la plus générale de l'adhérence)
  • Merci beaucoup JLapin pour tous tes encouragements !!! :):):blush:
    Ah Barry, je ne connaissais pas cette définition de l'adhérence, j'avais en tête seulement la définition de l'adhérence de $A$ comme étant le plus petit fermé contenant $A$. Et je connais aussi la caractérisation de l'adhérence avec les suites !
    Si je comprends bien ta preuve : $x \in A \cap \overline{B}$ donc $x \in A$ qui est ouvert donc $A$ est un voisinage de $x$. Mais $x$ appartient aussi à $\overline{B}$ donc tous les voisinages de $x$ rencontrent $B$ et ainsi, $A \cap B \neq \varnothing$ car $A$ est un voisinage de $x$ ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ faite sur $A \cap B $.
  • 1) $A \cap B = \emptyset$ donc $A \subset B^c$. Comme $A$ est un ouvert, $A \subset \mathring{B^c}$ et puisque $\left(\mathring{B^c}\right)^c = \overline B$, on a bien $A \cap \overline B = \emptyset$.

    2) Si $O$ est un ouvert non vide inclus dans $A$, il rencontre $B$ puisque $B$ est dense, ce qui est absurde puisqu'alors $\emptyset \neq O \subset A \cap B$. Donc $\mathring A = \emptyset$. Par symétrie des rôles de $A$ et de $B$ on a le résultat. Remarque : question mal posée puisqu'on n'a pas utilisé que $A$ était dense pour établir $\mathring A = \emptyset$.
  • Ok merci Poirot, je vois !
    Ah oui, il faudrait reformuler la question 2 en enlevant l'hypothèse sur la densité de $A$ dans $E$ et prouver uniquement que $\mathring{A}=\varnothing$ . De toute façon, on a le résultat pour $\mathring{B}$ par symétrie.
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