Construction

pappus

Bonsoir à tous

On se donne un point $O$, un cercle $\Gamma$ et sur ce cercle un point $M$.

Construire à la règle ébréchée et au compas rouillé les coniques de centre $O$ osculatrices au cercle $\Gamma$ au point $M$.

Amicalement

pappus

PS

J'ai délibérément caché une partie de cette construction!

arguesien

Bonsoir,
Pour une ellipse : 
Une fois les axes déterminés, on peut construire par des propriétés affines les deux cercles de diamètres les grands et petit axe de l’ellipse.
En revanche je suis bien incapable d’expliquer la construction des axes !

pappus

Mon cher arguesien

Je vois deux méthodes:

1° Utiliser la défunte et plus que défunte théorie du contact avec un bon choix du repère orthonormé

2° Plus élémentairement, utiliser une des multiples constructions du centre de courbure en un point d'une conique à centre qui faisaient tant la joie de nos aïeux!

Attention la conique n'est pas forcément une ellipse, ce peut-être aussi une hyperbole.

Sur ma figure, on peut se donner une droite passant par $M$ qui ,jouera le rôle de normale et faire varier dessus le centre de courbure $C$.

On peut alors chercher les lieux des sommets et des foyers des coniques osculatrices quand on fait varier $C$.

J'ai tracé en bleu le lieu des sommets et en violet le lieu des foyers.

Cet exercice aurait pu être une partie d'un problème du concours d'entrée à l'X ou à Normale dans les années 1900!

Amicalement

pappus

PS

Sur cette figure, j'ai utilisé une construction a priori inédite du centre de courbure qu'on devine aisément, même si je sais qu'il n'y a jamais rien de nouveau sous le soleil de la géométrie élémentaire.

En tout cas je n'ai vu cette construction nulle part mais sans doute n'ai-je pas assez lu!

pappus

Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.

Cette construction inédite (??) se propage à la parabole!

Amicalement

pappus

pappus

Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves

Voici plus précisément les constructions du centre de courbure que j'ai utilisées pour l'hyperbole et l'ellipse.

Amicalement

pappus

pappus

Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves

Compte tenu de ce que j'ai dit sur la construction du centre de courbure en un point d'une parabole, on résout facilement le problème suivant.

On se donne un cercle $\Gamma$ de centre $C$ et sur ce cercle un point $M$.

Déterminer toutes les paraboles osculatrices en $M$ au cercle $\Gamma$.

Lieu de leurs foyers, enveloppes de leurs directrices et de leurs axes!

Amicalement

pappus

arguesien

Bonjour,
je n’ai pas encore fait les calculs mais ce que je peux dire :
plus généralement, une fois les axes connus, le dernier point d’intersection du cercle avec la conique est connu car la sécante et la tangente au point d’intersection de multiplicité 3 sont également inclinées sur les axes.
Il nous reste alors à construire une conique passant par trois points et tangente à deux droites, qui si je ne raconte pas n’importe quoi, admet en général deux solutions (on considère le faisceau de coniques passant par trois points et tangente à l’une des droites et elle induit sur la deuxième droite une involution).

pappus

Mon cher arguesien

Je reconnais que tu as une très bonne culture mais néanmoins tu n'as pas lu ton Lebossé-Hémery avec toute l'attention qu'il mérite.

Ceci dit, il n'y a qu'une seule solution!

Amicalement

pappus

pappus

Bonjour à tous

Voici donc la construction complète!

Il reste quand même à justifier cette construction du centre de courbure!

Amicalement

pappus

PS

Le lieu des foyers quand le point $C$ parcourt la normale en $M$ est pratiquement évident.

C'est une hyperbole équilatère de centre $O$ passant par $M$ dont les asymptotes sont d'une simplicité biblique à tracer.

Consulter son Lebossé-Hémery as usual!

pappus

Bonjour à tous

Voilà ce qui se passe quand on fait varier $C$ sur la normale.

Amicalement

pappus

pldx1

Soit $z$ l'affixe de $C$  et $z+R\rho$ l'affixe de $M$. Alors les affixes des foyers des coniques osculatrices sont données par
\[f^2 = {z}^{2}+ \dfrac{3\,R\,z}{2}\,\rho- \dfrac {R\overline z}{2}\,{\rho}^{3} \]