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i-ème itérée

Bonjour,

Soit $i<j$ dans $\mathbb{N}$. $f^i$ désigne la $i$-ème composée de $f$ par elle-même. Je suis au milieu d'un raisonnement par l'absurde. A-t-on $f^i=f^i \circ f^{j-i}\implies f^{j-i}=\text{Id}$ ?  Merci.

Réponses

  • Oui si $f$ est injective (par exemple).
  • Ben non, si $i=1$ et $j=2$, alors $f=f\circ f=f^2$, donc $f$ est un projecteur, a priori non l'identité.
    Alain
  • Ok je n'ai pas encore vu les projecteurs, mais $f$ est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles.
  • Contre-exemple simple : $f$ est constante.
  • ok merci
  • Modifié (23 Jan)
    Un autre contre-exemple, avec $f$ injective (désolé JLapin, ça ne suffit pas) de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ : 
    $f: x\mapsto -x$.
    Comme $f^2=Id_{\mathbb R},\ f^4 = f^2 \circ f^{4-2}$.
    Cordialement.
  • Modifié (23 Jan)
    Ben si, ça suffit vu qu'on demande seulement $f^{j-i} = Id_{\mathbb{R}}$. On peut même juste supposer que $f^i$ est injective.
  • Ah oui, mon contre-exemple n'en est pas un !!
  • Modifié (23 Jan)
    Lolo36 a dit :
    mais $f$ est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles.
    Si ce n'est pas un problème interminable, pourrait-on avoir un énoncé complet ?
    [Et quantifié. AD]
  • Ok je vous l'envoie, il s'agit de la question 3b en bas. La réponse est certainement simple mais j'avais posé cette question car je suis parti sur un raisonnement par l'absurde. Si ca impliquait que $f^{j-i}=id$ alors on aurait $i=j$ ce qui est absurde puisque $i<j$.
  • Ok, alors tu peux supposer l'égalité, composer par $f$ jusqu'à obtenir $f^q$ à droite et en déduire une absurdité.
  • ok ça marche merci !
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