Définition de limite de fonctions

PierreCap

Bonjour

J'ai trouvé ces deux définitions pour la limite en un point d'une fonction réelle. La première est la définition de base, celle qui est utilisée dans tout espace topologique, et la seconde est plus classique, adaptée à R. Mais je n'ai pas vraiment trouvé de démonstration de l'équivalence entre les deux définitions. Je vous soumets cette démonstration pour avis et critiques, sachant que mes connaissances en topologie sont très basiques. Merci pour votre aide, Pierre.

PS J'ai modifié l'image ci-dessous à 20h26, 20h31 et 20h39.

Antoine_F

Salut Pierre

Je comprend ta démarche, tu es certainement en train de passer d'espaces métriques à topo générale, et, oui, c'est comme cela que se généralise la notion de continuité. Cependant il s'agit ici presque d'une tautologie il suffit d'écrire pour démonstration que les assertions suivantes sont équivalentes:
1) f continue en a élément de D au sens de la définition "classique" (i.e avec les epsilons et tout le bazar)
2) (je fais pas de latex ici donc je note e pour epsilon et h pour heta même si il ne s'agit que de lettres)
Pour tout e>0, il existe h>0 tel que f^-1(B(f(a),e)) soit inclus dans la trace (l'intersection avec D) de B(a,h).
3) f continue en a selon ta deuxième définition (l'image réciproque de tout ouvert contenant f(a) est un voisinage de a dans D)


Il n'y a pas besoin de prendre autant de pincettes pour montrer l'équivalence des définitions (je veux dire pas besoin de procéder en deux temps) et de plus c'est dommage de voir des approximations qui rendent ta preuve fausse lorsque ton but (je pense) est de fournir une preuve rigoureuse. Je veux parler :
des "tout voisinage de a dans D peut s'écrire sous la forme V_e", ce qui est faux ;
des suites des symboles d'équivalence et d'implication douteuses d'un point de vue rigueur (même si totalement compréhensibles, pas d'inquiétude) ;
et des " il existe donc des couples e,h>0 tel que" qui n'ont rien à faire là (on aurait plutôt intérêt a écrire des choses du genre : pour tout e>0, il existe h>0, car sinon, on a rien prouvé).

Biensûr si je lis ta preuve je comprend ce que tu veux dire et c'est exactement cela qui permet de démontrer l'équivalence, mais là où tu demande des avis sur cette preuve, je te répond qu'elle manque de rigueur. Je pense à la mauvaise gestion des quantificateurs que j'ai citée en dernier lieu et qui, selon moi, est le plus important a rectifier dans ta manière d'écrire. De plus je ne saurait que trop te conseiller d'utiliser les symboles d'équivalence et d'implication a meilleur escient, ce sont des symbole qui ont un sens et qui (même si cela te surprend) mérite d'être utilisés avec une grande attention. Pour justifier mes paroles et te montrer la subtilité des ces symboles que beaucoup de gens négligent, lis plutôt: quand tu écris "A implique B", la seule chose que tu écris, c'est "A implique B" et certainement pas "A donc B" et tu n'as alors pas montré B, si tu veux dire ca avec des implication (ce qui n'est pas nécessaire en général) il faut alors écrire "A et (A implique B )".

Enfin si tu lis ma preuve tu as tout les éléments, aucune imprécision et de l'efficacité, je veux dire par là qu'il est possible d'écrire moins et mieux, surtout qu'ici, comme je l'ai dit, c'est presque une tautologie. En cela, rédiger une telle démonstration n'est pas le plus intéressant, il y'a des choses un peu plus formatrices. Je pense (si comme la teneur de ton message l'indique, tu n'as jamais fais de topologie) à la définition de la compacité. C'est le même travail que celui là, une équivalence de définition, mais il y a plus a creuser. Je te l'énonce:

Montrer l'équivalence des deux définitions dans le cas d'un espace métrique (E,d):
1)E est compact si toute suite admet des valeurs d'adhérences
2)E est compact si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un sous recouvrement finis (recouvrement par des ouverts : famille d'ouverts , ici pour la topo associée à d, indexée par un ensemble qcq, dont la réunion est l'espace entier / sous recouvrement finis: sous famille finie extraite de la première dont la réunion est encore E)

Tu auras besoin d'un lemme (je te laisse le soin de le démontrer également):
Si (U_i)_i est un recouvrement par des ouverts de E, il existe e>0 tel que pour tout x dans E, il existe i tel que B(x,e) est inclus dans U_i (un tel e est appelé nombre de Lebesgue associé au recouvrement).

J'espère que tout ceci va t'être utile.

gebrane

Il y a une coquille dans  ta définition avec les voisinages, et normalement il faut remplacer dans ta définition l’égalité par une inclusion, sinon on a des contres-exemples                      /V\       La fonction M avec  pieds long et écartés

                                                                           /      \

Antoine_F

@gebrane
Quitte à agrandir le voisinage on a l’égalité non?

gebrane

Non, tu va le dépasser. On a la limite en 0 est 1. Je considère le voisinage V=[0,2]  inclut dans l'image.

 Trouve moi W un voisinage de 0 tel que f(W)=V  impossible

PS C'est un dessin de tête de chat, est-il fourni par chatGPT  

Alain24

Le bon titre est définition de limite de fonctions.

[Titre corrigé. AD]

Antoine_F

@gebrane
justement ici il y’a un bon voisinage qui satisfait l’égalité (et c’est toujours le cas).
si a<b<c<d<e<f sont les antécédents par ta fonction de 0 et 2 ( F(a)=F(f)=0 et F(b)=…=F(e)=2 ), alors W:= [a,b] + [c,d] + [e,f] est bien un voisinage de 0 car c<0<d et F(W)=[0,2]

gebrane

Antoine_F   : Tu as raison.  ( j'ai considéré à tort que des voisinages connexes)

Antoine_F

@gebrane
a oui oui si on impose connexe là ça devient faux par contre

PierreCap

@ Antoine_F. Merci infiniment pour ta réponse détaillée. Je vais la lire en détail, elle m'est très précieuse. C'est vraiment très sympa.
Pierre

PierreCap

@ Antoine_F. Si j'ai bien compris, tu me dis que pour montrer l'équivalence entre les deux définitions il faut que j'écrive cela :

Mais je ne comprends pas car le passage de la 3ème à la 4ème ligne cela revient à dire que :
Et je ne crois pas que cela soit correct car tous les voisinages de $l$ ne sont pas de cette forme. C'est d'ailleurs la faute que j'ai commise dans la démonstration que j'ai proposée comme tu me l'as fait remarquer. Je crois que cette démonstration serait bonne si la définition de la continuité parlait de boules, et non de voisinages. Il manque une étape ? Qu'est-ce qui m'échappe ?

Merci, Pierre 

Antoine_F

@PierreCap Ok je n'ai pas très bien compris ce qui est écrit après le "cela revient à dire que: ..." car y n'est pas quantifié mais je vais essayer de clarifier. Pour le passage de la troisième à la quatrième ligne, ce que tu écris dans le sens direct c'est juste que si V est un voisinage de l, il existe epsilon tel que la boule ouverte B(l,epsilon) (intersectée avec F si tu travail dans l'espace topologique F, comme tu l'as écrit) soit incluse dans V. Le sens réciproque vient juste du fait que si ca marche pour tout voisinage V, en particulier, ca marche pour les boules de rayon epsilon arbitraire car ce sont des voisinages de l.
Aussi, à la dernière ligne tu as f(W) inclus dans V, c'est le plus naturel avec la manière dont tu écris la preuve. Tu peux avoir l'égalité si tu le souhaite quitte a agrandir W, ca se voit si j'écris W inclus dans f^-1(V) et c'est d'ailleur cette écriture (avec f^-1) que je t'invite à priviligier (car les images réciproques ont un bon comportement avec les opérations ensemblistes)
Sinon cette preuve est bonne (en fait c'est la "même" que ta première mais en plus efficace, dans la première la démarche était bonne mais il y avait quelques maladresses).

PierreCap

@Antoine_F Je te remercie beaucoup pour ces explications qui m'ont donné beaucoup de matière à réfléchir. Je n'avais jamais abordé ce genre de problème sur la topologie de R, je travaille depuis trois ou quatre jours sur tes réponses et J'avoue avoir eu du mal à comprendre. Mais ce n'est pas à cause toi, c'est juste que c'est nouveau pour moi. J'ai rédigé un nouveau document, je pense que cette fois j'ai compris et qu'il n'y a pas d'erreur de fond mais peut-être, même sûrement, y a-t-il des maladresses et des erreurs de rédaction. Ce serait super si tu pouvais y jeter un coup oeil.

Merci, Pierre
image remplacée le 29/01 à 10h26
 

PierreCap

Je pense avoir mis au point la démonstration. Je crois que cela n'intéresse plus grand monde mais je la poste quand même, cela pourra peut-être servir à quelques-uns. Merci à tous pour votre aide.