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Les probas en 2023 en classe de troisième et la théorie naïve des ensembles

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Réponses

  • De toute manière, c’est hors-sujet au collège. 
    Quoique… il faut bien aller plus loin si le prof considère que c’est pertinent. Et dans ce cas là, ce n’est pas le texte de Foys qui sera utilisé, si impeccable soit-il. 
  • Modifié (24 Jan)
    stfj a dit :
    Bonjour, 
    Je suis professeur de collège et ai toujours été perplexe sur l'introduction il y a quelques années maintenant des probas en collège. Prétendre faire une introduction aux probabilités sans disposer d'aucun élément -presque - de théorie des ensembles naïve me paraît toujours une gageure.
    Ca n'est pas juste une impression. On se prive d'éléments de langage cruciaux pour les probas en y renonçant.
    Considérons les deux phrases suivantes :
    -Bob a dans sa main un as de trèfle, un roi de trèfle, un 4 de pique et un 3 de cœur.
    -Bob a dans sa main un 3 de cœur, un roi de trèfle, un as de trèfle, un 4 de pique.
     Tout le monde devrait spontanément s'accorder sur le fait que ces phrases disent exactement la même chose. Maintenant examinons la problématique de mettre cette situation sous une forme exploitable par exemple en informatique. Les objets $\{A\clubsuit, R\clubsuit, 4\spadesuit, 3\heartsuit\}$, $\{3\heartsuit, R\clubsuit, A\clubsuit, 4\spadesuit \}$ sont en fait une seule et même chose cependant, en informatique notamment, deux listes $(a,b,c,d)$ et $(a',b',c',d')$ ne sont égales que si $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$ et $d=d'$. En particulier, les listes $(A\clubsuit, R\clubsuit, 4\spadesuit, 3\heartsuit)$, $(3\heartsuit, R\clubsuit, A\clubsuit, 4\spadesuit)$ ne sont pas les mêmes. Pouvoir dire de façon claire si deux objets sont les mêmes ou non n'est pas un luxe en dénombrement (rien qu'en raison du fait qu'il va falloir décider à un moment si vous comptez l'objet une fois ou plusieurs).
    Ainsi $\{A\clubsuit, R\clubsuit, 4\spadesuit, 3\heartsuit\}$ ne pourra pas conceptuellement être une liste. Après il est possible de construire un programme qui teste étant données deux listes $\ell, \ell'$, si les ensembles de leurs éléments sont les mêmes (au sens de l'extensionnalité que nous abordons au paragraphe suivant). On est déjà dans les subtilités algorithmiques et il faudra encore manipuler la notion dans des situations ultérieures.
    Il doit y avoir au moins une trentaine de théories axiomatiques des ensembles (qui ont pour objet de donner un sens formel à la graphie $"x\in y"$), et même si les théories des ensembles particulières ZF/ZFC accaparent 99% des développement débats sur ces sujets, elles ont toutes la propriété suivante (introduite en axiome) qui en est un peu la marque de fabrique : l'extensionnalité, qui dit que pour tous $a,b$, $a=b$ si et seulement si pour tout $c$, $c\in a\Leftrightarrow c \in b$ ("deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments").
    Les mains de poker plus haut sont égales au sens de l'extensionnalité. Le langage ensembliste est alors tout à fait adapté à ces histoires. Les vieux bouquins introductifs aux probas (finies, basées sur le dénombrement) s'en servent et c'est normal.
  • Merci Foys, j'aime beaucoup ton approche qui utilise la compréhension intuitive, puis la nécessité d'expliciter ce qu'on fait en programmation pour en arriver à une propriété fondamentale compréhensible par un collégien. Ce serait vraiment dommage de se priver de ce concept en classe de mon point de vue.
  • Modifié (24 Jan)
    C'est intuitif les probas finies ? Je rappelle qu'au states un simple exo ("Monty Hall") a humilié des cohortes entières de mathématiciens ou gens munis de diplômes d'ingénieurs (qui écrivaient des lettres indignées à la chaîne de télévision qui a proposé ce jeu pour leur dire que "non, c'est bien 50% de chances et je suis ingénieur/prof de maths/chercheur"). Et honnêtement on pourrait recommencer avec quelques efforts d'imagination.
  • Modifié (24 Jan)
    Je préfère dire patatoïde que patate, et je suis pour l'usage des mains par les professeurs au second degré.
  • Modifié (24 Jan)
    samok
    Il est difficile d'écrire avec les pieds au tableau généralement.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Diagramme de Venn, voyons 😇
  • Modifié (24 Jan)
    Dans un college lambda, j'ai choisi deux prénoms : $S:=\text{sarah}:=\{s,a,r,h\}$ et $H:=\text{henri}$. Le plus long étant d'expliquer qu'on ne répète pas $a$ dans l'écriture de $\text{sarah}$, expliquer que $\text{sarah}\cap\text{henri}=\{h,r\}$ et que $U:=\text{sarah}\cup\text{henri}\cup\{y,z\}=\{s,a,h,r,e,n,i,y,z\}$ avec des patates au tableau n'a pas posé de problème pire que d'expliquer qu'une droite va à l'infini et au-delà. Je ne vois vraiment pas le problème en troisième d'écrire $p(S)=\frac49, p(H)=\frac59, p(H\cup S)=\frac79, p(H\cap S)=\frac29$, et de faire remarquer que $p(H\cup S)=p(H)+p(S)-p(H\cap S)...$ En outre, cela aurait pour vertu d'étendre des notations telles que $d\cap d'$, pour l'intersection de deux droites, à $\mathcal{C}\cap d$ pour l'intersection d'un cercle et d'une droite... Désolé si j'enfonce des portes ouvertes mais visiblement elles ne sont pas ouvertes pour tout le monde.
  • Pas de problème, jamais. Sauf que les élèves sachent écrire tout ça et comprennent ce qu’ils écrivent. 
    Bon, c’est une porte ouverte enfoncée depuis des lustres. 
  • Modifié (24 Jan)
    @Dom :$\cup$ pour "Union" et $\cap $ pour l'autre : c'est facile à intégrer (je ne sais pas qui a inventé ça mais c'est très efficace) et comme l'être humain est partisan du moindre effort (voir recherches récentes sur le sujet par un chercheur à ULM), il adopte vite $p(A\cup B )$ au lieu de $p(A\text{ou}B)$, non ? Surtout si on l'a habitué à écrire card$(A\cup B )$ ou aire$(A\cup B ) $. Comme $\bot \parallel$ si commodes pour écrire "$(A\parallel B. C\bot A)\text{ entraîne } C\bot B$" (qu'il faut évidemment avoir écrit en français d'abord pour des 6è : ) )
  • Modifié (24 Jan)
    J'en déduis que Foys ne sait pas écrire comme un pied.
    Bon, allez, définition de l'enthalpie par Foys :
  • Pour tout un tas de raisons et ce n’est pas l’objet du fil, tout le programme du collège est « facile à intégrer » mais pour tout un tas de raisons et ce n’est pas l’objet du fil, selon les établissements, les élèves ne les intègrent pas facilement. Les faits sont têtus.
    Pardon pour cette nouvelle banalité. 
  • Modifié (24 Jan)
    Certes @Dom cela fait plus savant mais inconvénient :
    - quand l'énoncé dit que les ensembles sont disjoints, je fais le choix de ne pas dessiner la région correspondante à l'intersection vide, c'est donc techniquement un diagramme d'Euler
    - quand je ne sais pas si les ensembles sont disjoints, je dessine toutes les régions et si j'ai une zone vide, ce n'est pas bien grave, c'est techniquement un diagramme de Venn.
    Comme je ne veux pas m'attirer les foudres de ceux qui tiennent à différencier les deux et que je n'y vois aucun intérêt pédagogique, je suis pour les digrammes patates (ou patatoïdes si vous voulez). C'est un peu la même histoire que ceux qui tiennent à différencier raisonnement par absurde et réfutation, comme ça m'enquiquine, je remplace les termes par autre chose de suffisamment explicite pour ne pas être fautive sans perdre du temps inutilement.

  • Modifié (24 Jan)
    Je ne le sais que trop bien mais ce n'est pas parce que certains élèves sont particulièrement faibles et ont du mal à assimiler la moindre connaissance qu'on leur présente qu'il faut interdire aux autres l'accès à des connaissances simplificatrices, unificatrices, que leurs prédécesseurs n'ont pas eu plus de mal qu'ils n'en auront à intégrer... N'est-ce pas ? Et supposer comme dans le belin de 2008 que quelques notations ad hoc vont permettre aux élèves une initiation fructueuse aux probabilités, c'est construire sur du sable sans faire le moindre lien avec tout ce que les élèves ont vus en maths et ça ne sert à rien, ni aux faibles ni même aux bons élèves. 
  • Je disais juste que la réunion où l’intersection n’apportent strictement rien dans la cadre du collège. 
    Rien de technique n’est au programme. 
    Je me dis que justement, travailler sur les mots ET et OU explicitement est tout aussi valable. 
    En fait, ça m’importe peu. Si le prof le sent, qu’il le fasse. Je pressens qu’il n’aura rien gagné ni rien perdu. 
    J’ose une suggestion : évitons de vouloir me faire dire que je serais pour un nivellement pas le bas. Merci d’avance…
  • Genre on accepte le cinquième axiome d'Euclide ?
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