Algèbre des fonctions mesurables

Georges Abitbol

Coucou,

en repensant à des discussions du forum, je me suis posé une question et ai trouvé une réponse. Je trouve ça amusant et vous partage donc la question sous la forme d’une énigme.

Soit un ensemble $X$ muni d’une tribu. L’ensemble des fonctions de $X$ vers $\mathbb{R}$ qui sont mesurables (avec la tribu borélienne à l’arrivée) est une sous-algèbre (stable par addition et multiplication ponctuelles) et stable par limites de suites simplement convergentes. Mais est-ce que toute sous-algèbre de $\mathbb{R}^X$ stable par limites simples est l’algèbre des fonctions mesurables pour une certaine tribu ?

raoul.S

Il me semble que non.

Vu l'heure je ne garanti pas l'exactitude de mes propos

Un contre-exemple : On considère l'algèbre $\mathcal{A}$ des fonctions de $\R$ dans $\R$ qui sont limite simple de fonctions continues (donc $X:=\R$). Cette algèbre devrait être stable par limite simple. Et on vérifie facilement que $\sigma(\mathcal{A})$ (la tribu minimale rendant mesurables les fonctions de $\mathcal{A}$) contient les intervalles. Donc $\sigma(\mathcal{A})$ est la tribu borélienne de $\R$. Or la fonction $\mathbb{1}_{\Q}$ (fonction caractéristique de $\Q$) est mesurable mais n'est pas dans $\mathcal{A}$ (car toute fonction qui est limite simple d'une suite de fonctions continues est continue sur un ensemble dense, cf. théorème de la limite simple de Baire). 

Georges Abitbol

Hé non ! Ce n’est pas stable ! Sinon, l’article https://en.wikipedia.org/wiki/Baire_function serait vide ! Certes, si on a une double suite $(f_{n,m})_{n,m}$, pour tout $x$, si $\lim_n \lim_m f_{n,m}(x)$ existe et vaut $l$, alors on peut trouver une extraction $\sigma$ telle que $\lim_n f_{n, \sigma(n)}(x) = l$, mais la même extraction ne marchera pas pour tous les points…

Poirot

@raoul.S : Les limites simples de fonctions continues sont les fonctions de première catégorie de Baire. Les limites simples de telles fonctions sont les fonctions de seconde catégorie de Baire, et on sait que l'inclusion est stricte (voir par exemple le récent livre de Gilles Godefroy sur la théorie de Baire).

@Georges Abitbol Je suspecte que la réponse est oui pour la raison suivante. J'ai très envie de considérer la tribu $\mathcal T$ engendrée par $X$ (autrement dit, l'ensemble des $f^{-1}(B)$ avec $B$ borélien et $f \in X$, qui forme bien la plus petite tribu contenant ces ensembles). Alors clairement les éléments de $X$ sont $\mathcal T - \mathcal B(\mathbb R)$-mesurables. Si maintenant je prends une fonction $f$ qui est mesurable pour ces tribus, on veut montrer que $f \in X$. On peut supposer $f$ positive en la décomposant selon ses parties positive et négative puisque $X$ est une algèbre. On dispose de l'approximation classique $$f_n(x) = n \mathbf 1_{f(x) \geq n} + \sum_{k=0}^{n2^n-1} f\left(\frac{k}{2^n}\right) \mathbf 1_{\frac{k}{2^n} \leq f(x) < \frac{k+1}{2^n}}$$ qui est telle que $f$ est limite simple des $f_n$. Il n'y a donc plus qu'à montrer que les indicatrices d'éléments de $\mathcal T$ sont dans $X$, je n'ai pas réussi à le faire de tête, mais je suspecte que l'on puisse s'en sortir à l'aide d'une astuce à la Stone-Weierstrass pour montrer que si $g \in X$ alors $g^+, g^-, |g| \in X$.

Calli

Bonjour,
Je viens compléter ce qu'a dit @Poirot. Notons $A$ l'algèbre considérée (qui n'est pas $X$, il y a une confusion de notations). Pour tout $f\in A$ et $a<b$, ${\bf1}_{f(x)\in [a,b[}$ est dans $A$.

Preuve : Soit $g={\bf1}_{[a,b[}$. Il existe une suite $(g_n)$ de fonctions continues qui converge simplement vers $g$. Et pour tout $n\in\Bbb N$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $\sup_{x\in [-n,n]} |g_n(x)-P_n(x)|<2^{-n}$. Alors $(P_n)$ converge simplement vers $g$. Donc $P_n\circ f$ converge simplement vers $g\circ f = {\bf1}_{f(x)\in [a,b[}$. Or $P_n\circ f\in A$ (si l'algèbre $A$ est unitaire), donc ${\bf1}_{f(x)\in [a,b[}\in A$.

De plus, l'ensemble $\mathcal T'$ des $E\in\mathcal T$ tels que ${\bf1}_E\in A$ est une tribu.

Preuve : C'est stable par intersection car ${\bf1}_{E\cap F} = {\bf1}_E {\bf1}_F$. C'est stable par complémentaire car ${\bf1}_E^c = 1-{\bf1}_E$ et $1\in A$ (si l'algèbre $A$ est unitaire). C'est stable par union disjointe dénombrable car ${\bf1}_{\sqcup_n E_n} = \sum_n {\bf1}_{E_n}$. Tout ceci suffit.

Comme $\mathcal T'$ contient $\{f^{-1}([a,b[) \mid f\in A,\ a<b\}$ (d'après l'étape 1) et que celui-ci engendre $\mathcal T$, $\mathcal T'$ est égal à $\mathcal T$. Donc pour tout $f:X\to \Bbb R$ qui est $\mathcal T$-mesurable, on a ${\bf1}_{f(x)\in [a,b[}\in A$. Ceci conclut la preuve de Poirot.

raoul.S

Georges Abitbol a dit :

Hé non ! Ce n’est pas stable !

Poirot a dit :

@raoul.S : Les limites simples de fonctions continues sont les fonctions de première catégorie de Baire. Les limites simples de telles fonctions sont les fonctions de seconde catégorie de Baire, et on sait que l'inclusion est stricte (voir par exemple le récent livre de Gilles Godefroy sur la théorie de Baire).

C'était délibéré, je l'ai fait exprès voyons...

Georges Abitbol

Ouiiiii ! Je procédais de la même façon.
Je vois ce résultat comme un argument de plus pour les tribus en tant qu'objet mathématique représentant "l'information". Une algèbre de fonctions sur un ensemble, stable par limites simples, je trouve ça assez naturel. Eh bien, cela correspond pile-poil à une tribu ! Je trouve ça cool.

Calli

👍

Foys

Le fait que la notion de tribu capture celle d'information partielle peut aussi être vue de la façon suivante: soit $\Omega$ un ensemble.

1°) Soient $(E,\mathcal F)$ un espace mesurable $\varphi: \Omega \to E$ une fonction  et $\sigma(\varphi)$ la plus petite tribu sur $\Omega$ rendant $\varphi$ mesurable. Soit $V$ un espace polonais muni de sa tribu borélienne $\mathcal G$ et $f:\Omega \to V$ une fonction. Alors $f$ est $(\sigma(\varphi),\mathcal F)$ mesurable si et seulement si il existe $g: (E,\mathcal F) \to (V,\mathcal G)$ mesurable telle que $g \circ \varphi = f$ (commencer par le cas où $V=[0,1]$ puis pour le cas général, considérer une intersection dénombrable d'ouverts de $[0,1]^{\N}$ homéomorphe à $V$). Ainsi les fonctions mesurables de $(\Omega,\sigma(\varphi))$ dans $(V,\mathcal G)$ sont exactement celles qui peuvent s'exprimer à l'aide de $g$.

2°) Soient $\mathcal T,\mathcal B$ deux sous-ensembles de $\Omega$ tels que $\mathcal B$ est la plus petite tribu contenant $\mathcal T$ (dans la plupart des cas $\mathcal T$ va être $\mathcal B$ lui-même).

Soit $\varphi: x\in \Omega \mapsto (\mathbf 1_A (x))_{A\in \mathcal T} \in \{0,1\}^{\mathcal T}$. On appelle cylindre toute partie de $\{0,1\}^{\mathcal T}$ de la forme $\prod_{S \in \mathcal T} M_S$ où $(M_S)_{S\in \mathcal T}$ est une famille de parties de $\{0,1\}$ telle qu'il existe un ensemble fini $\mathcal U\subseteq \mathcal T$ tel que pour tout $S\in \mathcal T \setminus \mathcal U$, $M_S = \{0,1\}$. Soit $\mathcal F$ la tribu  (dite "cylindrique") sur $\{0,1\} ^ {\mathcal T}$ engendrée par (i.e. la plus petite tribu contenant) les cylindres .

Alors $\sigma (\varphi) = \mathcal B$.

Autrement dit, la conjonction de 1°) et de 2°) entraîne que toute fonction mesurable et à valeurs dans un espace polonais est une fonction de la liste (éventuellement infinie) de toutes les réponses oui/non aux questions "est-ce que $x\in S$ ?" où $x$ est la variable de la fonction et $S$ parcourt $\mathcal T$.

Par exemple soit $\mathcal A$ une tribu sur $\Omega$ contenant $\mathcal B$, $P$ une mesure de probabilité sur $\mathcal A$ et $X:(\Omega,\mathcal A) \to \R$ une fonction mesurable et mettons, de carré intégrable. Alors (un représentant de) $E(X |\mathcal B )$ n'est rien d'autre que la meilleure approximation au sens des moindres carrés de $X$ qui puisse s'écrire $g \circ \varphi$ (i.e construite en répondant à des questions oui/non sur l'appartenance de la variable aux divers éléments de $\mathcal T$), et avec $g$ mesurable.

Georges Abitbol

Ah je ne connaissais pas la 1) avec $V$ polonais, je savais que ça marchait pour $\mathbb{R}$ (et j'utilisais le lemme d'approximation par des fonctions simples rappelé par Poirot, de mémoire).

Le point 2) est encore plus cool !