Triple équivalences de définitions espace "affinement libre"
Bonjour,
je souhaiterais avoir de l'aide pour résoudre un problème concernant la définition d'un espace P ⊆ E affinement libre :
je souhaiterais avoir de l'aide pour résoudre un problème concernant la définition d'un espace P ⊆ E affinement libre :
(i) ∀x ∈ P, x ∉ Aff(P\{x}) (où Aff(A) est l'espace affine engendrée par A).
(ii) ∀x ∈ P, l'ensemble Px := {y-x, y dans P\{x}} est libre dans E.
(iii) Pour toute combinaison linéaires nulle d'éléments de P : Σλi*xi (où Σλi = 0), tout les coeff. xi sont nuls.
Je dois montrer l'équivalence entre ces trois assertions.
(ii) ∀x ∈ P, l'ensemble Px := {y-x, y dans P\{x}} est libre dans E.
(iii) Pour toute combinaison linéaires nulle d'éléments de P : Σλi*xi (où Σλi = 0), tout les coeff. xi sont nuls.
Je dois montrer l'équivalence entre ces trois assertions.
Même si j'ai conscience que l'exercice est simple, j'ai beaucoup de mal à visualiser les différents objets, et je n'ai pour le moment aucune idée de raisonnement...
Merci d'avance pour votre aide !
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Réponses
Ton (iii) est faux : "(iii) Pour toute combinaison linéaires nulle d'éléments de P : Σλi*xi (où Σλi = 0), tout les coeff. xi sont nuls."
Ne serait-ce pas plutôt : "(iii) Pour toute combinaison linéaires nulle d'éléments xi de P ( Σλi*xi = 0), tout les coefficients λi sont nuls" ?
* Tu supposes i) vrai et tu essaies de démontrer ii)
* Tu supposes ii) vrai et tu essaies de démontrer iii)
* Tu supposes iii) vrai et tu essaies de démontrer i)
Cordialement.