Triangle, problème de Monjallon

gipsyc

Bonjour,

Sortant de la lecture du bel article de JL Ayme sur la question,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Deux%20triangles%20en%20perspective.pdf
et en particulier le tout premier problème (de Monjallon), je me suis intéressé au point (sur BC dans l'article) construit, et à quelle condition la construction présentée de Monjallon y aboutit.

J'ai constaté graphiquement que toute sécante au triangle à partir d'un même point M sur BC donne par la construction de Monjallon le même point sur BC.

Voici (traduit) le problème tel que je l'ai posé sur le forum Romantics of Geometry.

Soit un triangle ABC , a = BC, b = AC, c = AB, c < b

Soient A' et A" deux points distincts  sur le segment ]BC[

Soit un point M sur la droite BC, extérieur à [BC], MB < MC
Soit deux sécantes du triangle par M donnant les segments C'B' et C"B", C' et C" sur AB et B' et B" sur AC.

Soit la projection par les points A' et A" des points

   B' sur AB ~> points S' et T'

   C' sur AC ~> points P' et Q'

   B" sur AB ~> points S" et T"

   C" sur AC ~> points P" et Q"

Pour terminer

   P'T' n S'Q' = K'

   P"T" ∩ S"Q" = K"

Montrer que les droites
• P'T', et S'Q' convergent sur un point K'
  situé sur la droite BC.
  (c'est l'objet du problème de Monjallon)
• P"T" et S"Q" convergent sur le même point.
  (c'est mon hypothèse)

Belle soirée 

(verrons-nous la comète Swift-Tuttle ?)

Jean-Pol Coulon

fm_31

Bonjour 
à défaut de comète , il y a des hyperboles particulières sur cette figure .
Par exemple les hyperboles  A'A"B'C'S"Q"  et  A'A"B"C"S'Q'  se recoupent en U et V et la droite UV passe par A .
Cordialement

gipsyc

Merci fm_31
En voici l'illustration.

Cordialement,
Jean-Pol Coulon

fm_31

et des ellipses

gipsyc

fm_31

Joli
...
Rien par K' = K" = K ?

fm_31

Non rien par  K' = K" = K 

pldx1

Bonjour, $\def\medskip{} \def\noalign{} $

On a donc $M,A_p,A_q$ sur $BC$ et $C_1,C_2$ sur $AB$. En barycentriques, on pose: 

\[ M,A_p,A_q,C_1,C_2 \simeq \left[ \begin {array}{c} 0\\ \noalign{\medskip}1-m \\ \noalign{\medskip}m\end {array} \right] , \left[ \begin {array}{c} 0 \\ \noalign{\medskip}p\\ \noalign{\medskip}1-p\end {array} \right] ,  \left[ \begin {array}{c} 0\\ \noalign{\medskip}q\\ \noalign{\medskip} 1-q\end {array} \right] , \left[ \begin {array}{c} 1-u \\ \noalign{\medskip}u\\ \noalign{\medskip}0\end {array} \right] ,  \left[ \begin {array}{c} 1-v\\ \noalign{\medskip}v \\ \noalign{\medskip}0\end {array} \right] \] On calcule et on trouve \[ P_1T_1 \wedge S_1 Q_1 \simeq  \left[ \begin {array}{c} 0\\ \noalign{\medskip}p\,q\,m \\ \noalign{\medskip} \left( 1-p \right)  \left( 1-q \right)  \left( 1 -m \right) \end {array} \right] \] ce qui répond aux deux questions initiales. 

Appelons $bc1sq2$ la conique par $B_1,C_1,A_p,A_q,S_2$. Elle passe par $Q_2$. 
Appelons $bc2sq1$ la conique par $B_2,C_2,A_p,A_q,S_1$. Elle passe par $Q_1$. 
Comme l'on sait, il y a trois coniques dégénérées dans le faisceau formé par ces deux coniques. 
Deux sont évidentes, et la troisième est $bc1sq2-bc2sq1$ qui factorise en \[ \left( u-v \right)  \, x \, \left( y \left( 1-q \right)  \left( m+p-1 \right) +z\,p \left( m+q- 1 \right) \right) \] Le facteur $x$ correspond à la droite $BC=A_pA_q$ et la deuxième droite est la droite $UV$ cherchée. 
On remarque qu'il s'agit d'une droite fixe, comme le point $K$ était fixe. Et alors...

Cordialement, Pierre.

gipsyc

Bonjour
Merci pour votre intérêt pour la question posée et les réponses de chacun.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon