Une intégrale
Bonsoir à tous,
Quelqu'un saurait comment attaquer cette intégrale intelligemment ? Il y a sûrement une symétrie à utiliser mais je ne vois pas laquelle. Sans cela, j'ai commencé, mais en y allant directement ça prend déjà plusieurs pages et je suis à peu près sûr de faire une erreur.
Soient $c<1$ et $k\geq 1$ des constantes, calculer
$$\iiint_{[0,1]^3} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k d(s_1,s_2,s_3).$$
Merci
PS : dans le cas où ce n'est pas calculable, je ne cherche qu'une majoration fine.Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La dernière intégration n'est pas garantie être possible, bien qu'il y ait des simplifications qui peuvent être faites me semble-t-il.
Binômes de Newton avec indices $p,q$.
Intégration sur $s_1$ et $s_3$.
Symétrie sur les indices et changement de variable $s_2 \leadsto 1-s_2$ simplifie deux termes de somme nulle.
Symétrie sur les indices transforme les deux termes restant avec $\displaystyle \int_0^1 (s_2)^{p+1} (1-s_2)^{q+1} ds_2$.
Somme double.
On est obligé de parler de cette escroquerie intellectuelle de Chatbot en permanence pour tout et rien ?
Or, $I_3(s_2) := \int_{s_2}^1 \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k ds_3 \leq 1$ et
$$I_1(s_2) := \int_0^{s_2} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k ds_1 = \int_{1-cs_2}^1 s^k \dfrac{ds}{c} = \dfrac{1}{c(k+1)}\left( 1-(1-cs_2)^{k+1}\right),$$ d'où
\begin{align*}
\mathcal{I} &\leq \dfrac{1}{c(k+1)} \int_0^1 \left( 1-(1-cs_2)^{k+1}\right) ds_2 \\
&= \dfrac{1}{c(k+1)} \int_{1-c}^1 1-s^{k+1}\dfrac{ds}{c} \\
& = \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}\left(1-(1-c)^{k+2}\right)\right)\\
&=\dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}c\sum_{l=0}^{k+1}(1-c)^l \right),
\end{align*} où la dernière égalité provient de la formule de Bernouilli. De plus, étant donné que $(1-c)^l \geq (1-c)^{k+1}$, on a
$$\mathcal{I} \leq \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}c(k+2)(1-c)^{k+1} \right) = \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - (1-c)^{k+1} \right)$$
\begin{align}I = \sum_{p,q=0}^k \dfrac{c^{p+q}}{(p+1)(q+1)} \int_0^1 s_2^{p+1}(1-s_2)^{q+1} ds_2,\end{align}
Alors cherche dans ton moteur de recherche favori: fonction Bêta d'Euler.