Image d'un borné par une fonction continue

Nora-math

Bonsoir, pour $X$ un espace de Hilbert on définit $f: X \to \mathbb{R}$ par $f(x)=\|x\|$,

je veux montrer que l'image d'un borné par $f$ est bornée.

Soit $\Omega$ un borné de $X$, soit $y\in f(\Omega)$ donc il existe $x\in \Omega$ tel que $y=f(x)$, comme $\Omega$ est borné alors il existe $M>0, \|x\|<M$ c'est suffisant pour dire que $f(\Omega)$ est borné ?

Merci.

gerard0

Bonjour.

C'est très largement suffisant si tu évites de changer de notation en cours de route (qui est H ? et D ?).

En fait, la définition de "partie bornée" dit exactement que l'image par f de cette partie est elle aussi bornée.

Cordialement.

Nora-math

Je vais corriger merci beaucoup