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Corps fini, extension de corps, polynôme irréductible

Modifié (23 Jan) dans Algèbre
Bonjour
Je bloque au corrigé de la question 2. Je ne comprends pas comment on montre que $L=K(\beta)$. Je n'arrive pas à appliquer le cours sur les extensions que j'ai mis ci-dessous.
De plus, je ne comprends pas d'où sort la formule $card \  L =( card \  K)^2$, le cours dit que si $L$ est de caractéristique $p$ alors $card L = p^2$, mais ici on ne parle pas de caractéristique...



Réponses

  • Tout élément de $L$ est un polynôme de $\beta$ à coefficients dans $K$ donc $L\subset K(\beta)$.
  • Je suis d'accord mais ici je n'arrive pas à comprendre qui est $K$ et $K'$ du cours dans cet exercice.

    Le $\alpha$ du cours c'est $\beta$ mais j'aimerais comprendre le $K \subset K(\alpha) \subset K'$ comment il s'écrit dans l'exercice ? 
  • $K$ c'est $K$ et $K'$ c'est $L$.
  • Modifié (20 Jan)
    Ok merci. 

    On a d'après le cours, comme $\beta \notin K$ :  $K \subset K(\beta) \subset L$. Montrons que $L \subset K(\beta)$. 

    Comme $(1,\beta)$ est une base de $K$ en tant que $F_2$ espace vectoriel, tout élément $x$ de $L$ s'écrit de façon unique sous la forme $x=a+b \beta$ avec $a,b \in K$. Donc $x \in K(\beta)$ d'après le point 3 du théorème. Soit $L \subset K(\beta)$.

    Par contre, le $card \ L = (card \ K)^2$ je bloque toujours, je ne vois pas d'où ça sort ...
  • Modifié (20 Jan)
    OShine a dit :
    Comme $(1,\beta)$ est une base de $K$...
    C'est une base de $L$ pas de $K$. Donc tout élément $x$ de $L$ s'écrit de manière unique comme $x=\lambda +\mu \beta$ avec $\lambda\in K$ et $\mu\in K$. Combien y a-t-il de choix pour $\lambda$ et $\mu$ ? 🙄
  • Modifié (20 Jan)
    $card \ K \times card \ K = 16^2=256$.

    Merci ! Je cherchais des choses plus compliquées avec la caractéristique  :'(
  • Modifié (22 Jan)
    Bonsoir je reviens sur cet exercice qui me pose beaucoup de difficulté.
    Mon problème est que j'ai du mal à comprendre le quotient d'un quotient.
    Par exemple je n'ai pas compris pourquoi $- \alpha^3= \alpha^3$.
    Je ne comprends pas pourquoi dans L on calcule modulo 2 alors que le corps n'est pas $F_2$ mais $K$.
    Dans la question $5$, je ne comprends pas pourquoi $F_2(\beta)=L$.

  • Modifié (23 Jan)
    Bjr
    A mon avis,  si tu ne comprends pas pourquoi  $\alpha^3=-\alpha^3$  c'est que tu n'as pas compris l'exercice 201,  pourquoi $\alpha$ engendre le groupe $K^*$  et  aussi  la solution de la question 1 de cet exercice 12.6. 
  • Modifié (23 Jan)
    Si je peux démontrer que $\alpha$ engendre $K^{*}$.
    Mais dans $L$ je n'ai pas compris pourquoi $2=0$ dans $L$.
  • L est une extension de K?
  • On a $K[X] \subset L$, $K \subset K[X]$ donc $K \subset L$ et $L$ est une extension de $K$.
  • Modifié (23 Jan)
    On parle de $F_2(\beta)$ on ne sait pas qui c'est concrètement et l'inclusion ne comporte pas de $F_2(\beta)$ je ne comprends rien à la question $5$ et à son corrigé.
    Dans le cours quand on définit $K(\alpha)$ on donne d'abord le polynôme minimal de $\alpha$ et une relation $K \subset K'$ ici je ne comprends pas qui est $F_2(\beta)$.
    Je comprends juste la chaîne d'inclusion mais je ne comprends pas le lien avec $F_2(\beta)$.
  • Modifié (23 Jan)
    Je ne comprends pas le corrigé de la question $7$.
    Quel est le rapport entre le degré et l'appartenance des racines à $K$ ?

  • Il me reste que la question 7 où je suis bloqué.
    Le reste c'est réglé.

    Je ne comprends pas pourquoi on regarde si le degré divise 4 ni quel rapport avec les racines dans $K$.
  • Modifié (23 Jan)
    Je me demande si ce passage es utile.
    Pour l'instant je n'ai toujours pas compris cette question.

  • Le corps $K$ a $2^4$ éléments. Donc ses éléments sont exactement les racines du polynôme $X^{2^4}-X\in \mathbb{F}_2[X]$. Ce polynôme est donc scindé dans $K[X]$. Par le corollaire ci-dessus, $X^4+X^3+1$ divise $X^{2^4}-X$ dans $\mathbb{F}_2[X]$. Donc $X^4+X^3+1$ est également scindé dans $K[X]$.

    Pour la deuxième question tu sais que $\mathbb{F}_2\subset L$ et $L$ est une extension de degré 8. Si $X^5+X^3+1$ possédait une racine, disons $\gamma$, dans $L$ alors tu aurais la tour d'extensions : $\mathbb{F}_2\subset \mathbb{F}_2(\gamma)\subset L$ avec $\mathbb{F}_2(\gamma)$ une extension de degré 5 de $\mathbb{F}_2$. Tu devrais avoir un résultat dans ton cours reliant les degrés des différentes extensions dans ce cas pour terminer facilement...
  • Modifié (24 Jan)
    @raoul.S  merci c'est ok pour la première.
    Le livre n'aborde pas la notion de degré d'une extension.... La partie sur les extensions de corps fait 2 pages et le seul théorème je l'ai mis en première page.
    Il doit y avoir une méthode qui n'utilise pas cette notion.
  • @raoul.S Je pense avoir trouvé une solution qui utilise les outils du livre donc sans les extensions. A confirmer.

    Par contre mon cours dans un résultat intéressant qui n'utilise pas les extensions.
    Théorème : 
    Le polynôme $X^{p^n}-X$ est le produit de tous les polynômes irréductibles de $F_p[X]$ dont le degré divise $n$.

    Le corps $L$ a $2^8$ éléments donc ses éléments sont les racines du polynôme $X^{2^8}-X=\displaystyle\prod_{a \in L} (X-a)$. Ce polynôme est donc scindé sur $L$.

    Mais $R=X^5+X^3+1$ est de degré $5$ qui ne divise pas $8$ donc $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$, ainsi les racines de $R$ ne sont pas dans $L$. 
  • Modifié (24 Jan)
    OShine a dit :
     donc $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$, ainsi les racines de $R$ ne sont pas dans $L$. 
    Bizarre cet argument. Tu sembles penser que si au moins une racine de $R$ est dans $L$, alors $R$ divise $X^{2^8}-X$ (puisque tu utilises la contraposée de cette implication).
    Or au moins une racine du polynôme $R=X^{220938209380293802983}$ est dans $L$ mais $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$.
  • @JLapin
    Je dois préciser que $\deg R=5 < \deg (X^{2^8}-X)=2^8$ ? 
  • Modifié (24 Jan)
    Tu peux aussi rajouter que $R$ est à racines simples et donc si toutes les racines de $R$ sont dans $L$, alors $R$ divise $X^{2^8}-X$ mais cela ne démontrera que le fait qu'il existe au moins une racine de $R$ qui n'est pas dans $L$.
    Il me semble difficile d'échapper à la preuve de Raoul.

  • Modifié (24 Jan)
    Non ce qu'il faut préciser c'est que $R$ est irréductible... mais est-ce que tu vois pourquoi, OShine ?

    @JLapin on peut y échapper avec le théorème de son bouquin ICI (sachant que $R$ est irréductible). Mais bon...
  • Modifié (24 Jan)
    @raoul.S 

    On sait que $F_2[X] \subset L$. Le polynôme $X^5+X^3+1$ est considéré dans quel corps dans la dernière question ? C'est imprécis non ? 
    Je me perds, il y a trop de corps différents dans cet exercice, je trouve cet exercice vraiment difficile à cause du fait qu'on ne sait jamais vraiment où on est.

    Je vais utiliser la propriété suivante.
    Soit $A$ un anneau principal, $a,b \in A$ et $p$ un irréductible de $A$. Si $p \mid ab$ alors $p \mid a$ ou $p \mid b$.

    Une tentative. Par l'absurde, si $R$ divise $X^{2^8}-X=\displaystyle\prod_{a \in L} (X-a)$, comme $R$ est irréductible alors $R$ divise au moins d'un des $X-a$ avec $a \in L$ donc $R=(X-a) Q$ ce qui est contradictoire avec $R$ irréductible. 

    Mais qui est $A$ ici ? $L$ ? $X^5+X^3+1$ est un élément de $L$ ? 
  • Ce que tu as dit ici : 
    OShine a dit :
    Mais $R=X^5+X^3+1$ est de degré $5$ qui ne divise pas $8$ donc $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$
    ça c'est juste, on le déduit en utilisant le dernier théorème que tu as posté. Ensuite tu dis : 

    OShine a dit :
    ...ainsi les racines de $R$ ne sont pas dans $L$. 
    ça il faut le justifier. On le justifie ainsi : si $R$ avait une racine $\gamma\in L$ alors étant donné que $R$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$ (rappelons-nous que $R\in \mathbb{F}_2[X]\subset L[X]$), $R$ serait le polynôme minimal de $\gamma$ sur $\mathbb{F}_2$ et vu que $\gamma$ est racine de $X^{2^8}-X$ (car tous les éléments de $L$ sont racines de ce dernier polynôme), on en déduit que $R$ divise $X^{2^8}-X$. Mais on vient de dire ci-dessus que $R$ ne divise pas $X^{2^8}-X$, donc il y a une contradiction. Donc $R$ n'a aucune racine dans $L$.
  • Ok merci et comment on sait que $X^{2^8}-X \in \mathbb{F}_2[X]$ ? Dans le cours, on a juste un quotient, ici c'est un quotient de quotient ça m'embrouille à chaque fois.

    Car quand on parle de polynôme minimal, les polynômes annulateurs doivent appartenir au même corps $K[X]$ non ? 

    En fait je n'arrive jamais à savoir à quel corps appartiennent les polynômes, dans le cours c'est écrit $X^q-X \in \mathbb{F}_p [X]$, je suis totalement perdu à ce niveau.
  • OShine a dit :
    Car quand on parle de polynôme minimal, les polynômes annulateurs doivent appartenir au même corps $K[X]$ non ? 
    Oui. Le polynôme minimal divise tous les polynômes annulateurs et ils sont tous à coefficients dans le même corps.

    Ici $X^{2^8}-X \in \mathbb{F}_2[X]$ simplement car les coefficients sont dans $\mathbb{F}_2$ (le coefficient devant $X^{2^8}$ est le 1 de $\mathbb{F}_2$ et le coefficient devant $X$ est le $-1$ de $\mathbb{F}_2$).

    Dans cet exo tu ne dois pas t'embrouiller avec le quotient de quotient. Il faut plutôt voir que tu as des corps emboîtés $\mathbb{F}_2\subset K\subset L$. Alors rigoureusement ce ne sont pas des inclusions mais des injections... mais tu avais déjà vu dans un autre fil pourquoi tu peux considérer que ce sont des inclusions.
  • D'accord merci, pas facile les extensions de corps  :o 

    Mais ça fait travailler l'abstraction et les ensembles. 
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