Égalité entre série et intégrale ?
Nous connaissons le test de comparaison série-intégrale : si $f : [a,\infty[ \longrightarrow \R$ est continue, positive et décroissante, alors la série $\displaystyle \sum f(n)$ et l'intégrale $\displaystyle \int_a^{\infty} f(t)\text{d}t$ sont de même nature.
Je me demandais s'il était possible qu'on ait non seulement la convergence, mais aussi carrément l'égalité $\displaystyle \sum_{n \geqslant a}f(n) = \int_a^{\infty}f(t)\text{d}t$. Je parle bien là d'une fonction $f$ qui vérifie les hypothèses du test de comparaison, donc en particulier une fonction continue, je ne veux pas d'une fonction constante sur les $[k,k+1]$ égale aux termes d'une série convergente, ça ça n'a que peu d'intérêt.
Si l'on peut démontrer que c'est impossible, je ne sais pas comment, et si l'on peut construire un exemple, je ne sais pas comment non plus. Quelqu'un a-t-il une idée ?
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Réponses
Fais un dessin avec $f$ non constante sur $[k, k+1[$ vérifiant les hypothèses du test de comparaison. On voit facilement que c'est impossible.