Condition entre classes d’équivalence et l’ensemble des parties

LeTFG

Bonjour

Sur le Introduction à la théorie des ensembles (de P.Halmos) je bloque sur un exo (Chapitre 7).

« Exercice: montrer que X/R est effectivement un ensemble, en explicitant une condition qui spécifie exactement le sous-ensemble X/R de l'ensemble puissance P(X) »

Mon prof m’a fait une démonstration (que j’ai trouvé très belle d’ailleurs), sauf qu’elle faisait intervenir des fonctions, qui n’ont pas été encore définis dans le livre. Je me demande donc si il y a un moyen de le montrer sans ?
Merci.

marco

Bonjour,
$X/R=\{A \in \mathcal{P}(X) ~| ~A \neq \emptyset ~\mathrm{et} ~\forall x,y \in X, ~(x \in A) \implies (xRy \iff y \in A)\}$.

stfj

$R$ désigne une relation d'équivalence sur $X$.
Soit $A\in X/R$. Par définition de $X/R$, $\exists x\in X, A=\{y\in X: yRx\}\color{red}(*)$; en français, $A$ est la classe d'un élément $x$ de $X$.
Par exemple, si $X$ est un ensemble fini d'animaux colorés et $R$ la relation "...a la même couleur que...", $A$ pourra désigner la classe des animaux rouges pourvu qu'il y ait au moins un animal rouge dans $X$, par exemple un poisson rouge.
On a par définition $\color{red}(*)$ de $A$, $A\subset X$, autrement écrit $A\in \mathcal{P}(X)$.
En résumé, $$X/R:=\color{red}\{\color{black}A\in \mathcal{P}(X): \exists x\in X, A=\{y\in X: yRx\}\color{red}\}$$
ou, ce qui revient au même $$A\in X/R\iff \color{red}(\color{black}\exists x\in X, A=\{y\in X: yRx\}\color{red})$$
Je ne connais pas le livre d'Halmos mais, d'après l'énoncé, il me paraît probable qu'Halmos avait dû fournir les 7/8 axiomes de la théorie des ensembles (extensionnalité, sélection -ici utilisé-, axiome de la paire, ...)

Thierry Poma

LeTFG : à l'ensemble quotient $E/\mathcal{R}$, il est indispensable de lui associer la surjection canonique\[\pi:E\to{}E/\mathcal{R},x\mapsto\pi(x)=\left\{\begin{array}{c|c}u&{}u\in{}E\text{ et }u\mathcal{R}x\end{array}\right\}\]Etant donné un point $\mathbf{x}\in{}E/\mathcal{R}$, nous retrouvons la partie de $E$ à laquelle ce point est canoniquement associé en considérant le sous-ensemble habité (en vertu du fait que $\mathcal{R}$ est réflexive) $\pi^{-1}\left(\{\mathbf{x}\}\right)$ de $E$.

En réalité, il n'y a pas unicité du quotient. Par exemple, la bijection canonique\[b:E/\mathcal{R}\to{}F_{\mathcal{R}},\mathbf{x}\mapsto{}b(\mathbf{x})=\{\mathbf{x}\}\]fait de $(F_{\mathcal{R}},\,b\circ\pi)$ un autre quotient possible ; les éléments de $F_{\mathcal{R}}$ ne sont aucunement des parties de $E$.

Math Coss

N'y a-t-il toutefois pas unicité à bijection unique près ? 

Thierry Poma

@Math Coss : bonsoir. Compte-tenu des circonstances, je n'envisageais pas d'aller plus loin que ce que j'ai écrit ; je ne le ferai pas pour ne pas perdre l'initiateur. (Dans la catégorie des ensembles, les isomorphismes sont les bijections. La propriété universelle du quotient dans cette catégorie permet de rédiger quelque-chose de plus précis et plus rigoureux que ce que j'ai écrit, bien entendu).