Intégrale (ln) = ln (l'intégrale)

turboLanding

Bonsoir,
un problème auquel j'ai pensé, juste par curiosité.

Trouver les fonctions (disons $\mathcal C^{\infty}$) $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^{*+}}$, solutions de l'équation fonctionnelle :

$$\forall x \in \mathbb{R},\qquad \ln\Big(\int_a^x f(t)\,dt\Big)= \int_b^x \ln\big(f(t)\big)\,dt,$$
avec $a\text{, }b$ réels.

Alain24

En dérivant les deux termes de l'équation et en posant $F(x)=\int_a^x f(t)dt$, avec $F(a)=0$, on arrive à l'EDO

$\left\lbrace\begin{array}{lll}F'(x)&=&\ln(F'(x))F(x)\\F(a)&=&0\end{array}\right.$

turboLanding

Oui c'est ça. Merci.
Et avec l'exponentielle : 

$\forall x \in \mathbb{R}, \ \exp\Big(\int_a^x f(t)\,dt\Big)= \int_b^x \exp(f(t)\big)\,dt$ ?

turboLanding

$\forall x \in \mathbb{R},\ \exp\Big(\int_a^x f(t)\,dt\Big)= \int_b^x \exp\big(f(t)\big)dt$
Pareil, en derivant des deux cotés, on trouve avec 

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$
$F'(x)=f(x)$
$F$ est solution de l'équation :

$y' \exp(y)=\exp(y')$
https://www.wolframalpha.com/input?i=y'+exp(y)=exp(y')

Mais bon, notre inconnue, c'est $y'$ en fait.

P.2

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