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Intégrale (ln) = ln (l'intégrale)

Modifié (January 2023) dans Analyse
Bonsoir,
un problème auquel j'ai pensé, juste par curiosité.

Trouver les fonctions (disons $\mathcal C^{\infty}$) $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^{*+}}$, solutions de l'équation fonctionnelle :
$$\forall x \in \mathbb{R},\qquad \ln\Big(\int_a^x f(t)\,dt\Big)= \int_b^x \ln\big(f(t)\big)\,dt,$$
avec $a\text{, }b$ réels.

Réponses

  • Modifié (January 2023)
    En dérivant les deux termes de l'équation et en posant $F(x)=\int_a^x f(t)dt$, avec $F(a)=0$, on arrive à l'EDO
    $\left\lbrace\begin{array}{lll}F'(x)&=&\ln(F'(x))F(x)\\F(a)&=&0\end{array}\right.$
  • Modifié (January 2023)
    Oui c'est ça. Merci.
    Et avec l'exponentielle : 
    $\forall x \in \mathbb{R}, \ \exp\Big(\int_a^x f(t)\,dt\Big)= \int_b^x \exp(f(t)\big)\,dt$ ?
  • Modifié (January 2023)
    $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp\Big(\int_a^x f(t)\,dt\Big)= \int_b^x \exp\big(f(t)\big)dt$
    Pareil, en derivant des deux cotés, on trouve avec 
    $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$
    $F'(x)=f(x)$
    $F$ est solution de l'équation :
    Mais bon, notre inconnue, c'est $y'$ en fait.
  • P.2P.2
    Modifié (January 2023)
    .
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