L'intégration de $e^{ix}/\cosh(bx)$ sur l'intervalle $[-1,1]$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

L'intégration de $e^{ix}/\cosh(bx)$ sur l'intervalle $[-1,1]$

Modifié (19 Jan) dans Analyse
Bonjour, j'ai récemment rencontré l'intégrale suivante $\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}e^{ix}/\cosh(\pi x/2)dx$. On commence par écrire ceci comme $\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\cos(x)/\cosh(\pi x/2)dx+\frac{i\pi}{2}\int_{-1}^{1}\sin(x)/\cosh(\pi x/2)dx=\pi \int_{0}^{1}\cos(x)/\cosh(\pi x/2)dx$, où la dernière égalité suit par parité des fonctions. J'ai essayé de travailler avec IBP mais tout empire. Peut-on trouver la valeur exacte de l'intégrale ?
Cordialement, 

Réponses

  • Wolfram Alpha trouve une expression à base de séries hypergéométriques. Je pense que tu peux la retrouver avec la formule
    $$ \frac{\pi}{\sin(\pi s)} =  \frac{1}{s} + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{2s}{s^2 - n^2} $$
    Sinon, il est (très) probable qu'il n'existe aucune forme close pour ton intégrale. 
  • Modifié (20 Jan)
    Dommage que les bornes soient finies, on a davantage de résultats honnêtes, disons de $0$ à $+\infty$.
  • evariste21 a dit :
    J'ai essayé de travailler avec IBP
    Tu es enrhumé ?

  • Bonjour, nous apprenons des expériences. 
  • J'ai essayé d'adapter la suggestion de SkyMtn, mais sans succès. 
  • Bonjour

    il est peu probable en effet qu'il existe une forme close à ton intégrale
    (à propos la lettre b figurant dans le titre a du coup disparu)

    la fonction 1/ch(t) admet une primitive simple qui s'annule en zéro :smile:

    $\int_0^x\frac{dt}{cht}=2Arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}$

    ton intégrale numérique s'écrit plus simplement :
    $I = \frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\frac{cosx}{ch\frac{\pi.x}{2}}dx + i\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\frac{sinx}{ch\frac{\pi.x}{2}}dx$

    la seconde intégrale est nulle puisque l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à 0
    et d'autre part l'intégrande est fonction impaire

    finalement l'intégrale I est réelle et convergente : $$I = \pi.\int_0^1\frac{cosx}{ch\frac{\pi.x}{2}}dx$$

    il existe un développement fractionnaire à la fonction 1/ch : 

    $\frac{\pi}{4ch\frac{\pi.x}{2}} = \Sigma_1^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{2n-1}{x^2 + (2n-1)^2}$ 

    par multiplication par $4\pi.cos(x)$ et intégration de 0 à 1
    on reconnait une transformation de Fourier mais sur des bornes inadéquates

    à la calculatrice on trouve $I= 2,037215546....$

    Cordialement
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