Bande de papier

pappus

Bonjour à tous
L'animation ci-dessous montre une bande de papier avec dessus un point $M$ tel que $MP=a$ et $MQ=b$.
Le point $P$ est assujetti à rester sur la droite $Ox$ et le point $Q$ à rester sur la droite $Oy$.
Montrer que le point $M$ décrit alors une ellipse dont on calculera l'aire.
Amicalement
pappus

stfj

Fascinant. Bien incapable de résoudre un tel exercice, je me contenterai d'une solution très partielle. Traitons le cas où $Ox$ est perpendiculaire à $Oy$, $a+b=1$, avec $a=b=\frac12$. Notons $P=(p,0)$ et $Q=(0,q)$. On a $p^2+q^2=1$ d'où $q=\sqrt{1-p^2}$ et $M=\frac12(p,\sqrt{1-p^2})$ au moins dans le premier quadrant. Mais $p^2+1-p^2=1$. Donc un peu rapidement dit, $M$ décrit un cercle, qui est bien une ellipse particulière. 

arguesien

Bonjour
Voici ma figure.

En particulier, l'aire de l'ellipse rouge ne dépend pas de $\theta$.

pappus

Bravo Arguesien !
C'est vrai mais ta figure étant peu explicite, cela mérite quelques explications détaillées!
Amicalement
pappus

pappus

Bonjour à tous

Bien sûr, il y a des raisonnements analytiques ou synthétiques à faire mais il y a aussi à faire la figure et à réaliser son animation et cela est du niveau thaléso-pythagoricien.

Amicalement
pappus

arguesien

Sur ma figure :  $m$ est tel que $\overrightarrow{Om} = \overrightarrow{AM}$. Le point mal nommé $\omega$ est la projection de $M$ sur $OB$ parallèlement à $OA$ et $m'$ est le symétrique de $m$ par rapport à $\omega$.

Bouzar

Bonjour,
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/602301#Comment_602301
Amicalement

pappus

Merci Arguesien !

Joli, très joli  mais presque!

Le point $m'$ est inutile et tu pouvais faire la même démonstration avec les points $\omega$ et $m$.

Des affinités de rapport négatif, ça existe et comme je l'ai déjà dit, les nombres négatifs sont acceptés par la communauté mathématique depuis pas mal de temps déjà!

En tout cas, bravo, c'est la première fois que je vois une démonstration synthétique aussi courte et ne faisant appel pour la plus grande joie des badauds qu'à l'axiome de Thalès !

L'épectase, quoi !

Comment réaliser l'animation ?

Amicalement
pappus

pappus

Bonjour à tous

En effet:

$$\dfrac{\overline{\omega M}}{\overline{\omega m}}=\dfrac{\overline{\omega P}}{\omega O}=\dfrac{\overline{MP}}{\overline{MQ}}=-\dfrac a b$$

Le lieu de $M$ se déduit de celui de $m$ par une affinité.

C'est donc une ellipse puisque $m$ décrit un cercle!

Comme ce cercle décrit par $m$ est d'aire $\pi b^2$, l'aire de l'ellipse décrite par $M$ est donc:

$$\dfrac ab.\pi b^2=\pi ab$$

Encore une fois bravissimo Arguesien!

Amicalement

PS

Encore un exo qui montre l'importance des transformations en géométrie!

On ne peut faire de géométrie en les occultant!

pappus

pappus

Merci Bouzar d'avoir déterré ce vieux fil que j'avais complètement oublié, où Robby3 avait précédé Arguesien de 13 ans!

Amicalement

pappus