Équivalents d'intégrales

LeVioloniste

Voilà je vous propose un exo sur les équivalents, ça va faire de bonnes révisions.

Math Coss

Bonnes révisions pour qui ?

LeVioloniste

Pour l'agrégation interne par exemple. Je commence ce soir.
Des questions théoriques puis pratiques c'est dans l'esprit du concours.

LeVioloniste

Je n'ai pas cherché mais ça me plaît beaucoup.

NicoLeProf

Pour ceux qui préparent l'agreg j'imagine ! ^^'

Préambule : pour le moment, je n'y arrive pas... Décidément, je suis beaucoup moins à l'aise en analyse.

1ère partie :

1. Pas de problème, question triviale. L'énoncé pourrait préciser que la fonction n'est pas définie en $1$ tout de même. Je ne suis pas fan de la formulation.

2. a) Je dirais que cette intégrale est définie pour tout $a \in [0;b[$ et pour tout $b<1$ . En effet, en $0$ , $|\dfrac{1}{\ln x}|=o(\dfrac{1}{\sqrt x})$ et $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{\sqrt x} \,  \mathrm{d}x$ converge (intégrale de Riemann) .

Par contre, en $1$ , $\dfrac{1}{\ln x} \sim \dfrac{1}{x-1}$ et $\displaystyle \int_{0,5}^{1} \dfrac{1}{x-1} \,  \mathrm{d}x$ diverge. Donc il y a divergence en $1$ donc $b<1$ .

b) Déjà, $a>1$ car il y a divergence en $1$ . Ensuite, en $+\infty$, $\dfrac{1}{\sqrt x}=o \left (\dfrac{1}{\ln x} \right)$ et $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt x} \,  \mathrm{d}x$ est divergente (intégrale de Riemann) donc $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\ln x} \,  \mathrm{d}x$ diverge et on conclut que l'intégrale de cette question n'est pas définie...

3. a) Un calcul rapide montre que $f_0(x) \sim \dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$ en $0^+$ (expression de droite obtenue en dérivant $x \longmapsto \dfrac{x}{\ln x}$). De plus, on sait que pour $x<1$, $\displaystyle \int_{0}^{x} f_0(t) \,  \mathrm{d}t$ converge . Donc d'après le premier point du préambule, on a le résultat voulu.

b) On rappelle qu'en $1$ , $\dfrac{1}{\ln x} \sim \dfrac{1}{x-1}$ . De plus, on a vu qu'il y a divergence de l'intégrale de $f_0(t)$ en $1$. Donc on a le résultat voulu grâce au deuxième point du préambule. (Oui, ici , je rédige "à l'arrache" : promis, je m'appliquerai lors du concours ! ^^' )

c) L'équivalent de 3). a) nous permet de conclure qu'il y a (absolue) convergence de $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} f_1(t) \,  \mathrm{d}t$ car $|\dfrac{x}{\ln x}|= o \left(\dfrac{1}{\sqrt x} \right)$ en $0$.

L'équivalent de 3. b) nous permet de conclure qu'il y a convergence de $\displaystyle \int_{0,5}^{1} f_1(t) \,  \mathrm{d}t$ en étudiant les primitives de $x \longmapsto \ln(x-1)$ et $x \longmapsto \ln(1-x)$ qui se prolongent par continuité en $1$ .

Donc cette intégrale est convergente.

LeVioloniste

Préambule.

Déjà le préambule dit que $\int_{[a,b]} f$ et $\int_{[a,b]} g$ sont de mêmes natures si $f$ et $g$ sont positives.

i/ Mq $\int_{[a,b]} f$ cvg alors $\int_{[x,b]} g \sim_{x \mapsto b} \int_{[x,b]} f$ sachant que $g(x) \sim_{x \mapsto b} f(x)$.

Si $f(x) \sim_{x \mapsto b} g(x)$ alors $f-g=o_b(f)$, avec $o$ relation de négligeabiblité.

Cette relation s'écrit $\forall \epsilon > 0$, $\exists c \in [a,b[$, $\forall x \in [c,b[, |f(x)-g(x)| \leq \epsilon.|f(x)| = \epsilon.f(x)$.

J'ai choisi $f$ dans le $o$ pour faire sauter la valeur absolue.

Après une écriture plus générale consiste à parler de voisinage autour de b, mais bon ici, pas nécessaire.

comme $\int_{[a,b]} f$ cvg, $ \int_{[x,b]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[x,b]} f$. Or $ \int_{[x,b]} f-g \leq \int_{[x,b]} |f-g|$.

Donc $ \int_{[x,b]} f-g \leq \epsilon.\int_{[x,b]} f$.

Ce qui  est exactement $\int_{[x,b]} f - \int_{[x,b]} g = o_b(\int_{[x,b]} f)$.

Et ceci est $\int_{[x,b]} f \sim_{x \mapsto b} \int_{[x,b]} g$. 

ii/ Mq $\int_{[a,b]} f$ dvg alors $\int_{[a,x]} g \sim_{x \mapsto b} \int_{[a,x]} f$ sachant que $g(x) \sim_{x \mapsto b} f(x)$.

La on a une divergence de 1ere espèce cad $\int_{[a,b]} f = +\infty$ ou $-\infty$.

$\forall \epsilon > 0$, $\exists c \in [a,b[$, $\forall x \in [c,b[, |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,x]} |f-g| \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \int_{[c,x]} |f-g|$.

Or $\forall \epsilon > 0$, $\exists c \in [a,b[$, $\forall x \in [c,b[, |f(x)-g(x)| \leq \epsilon.|f(x)| = \epsilon.f(x)$ donne $\int_{[c,x]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[c,x]} f$.

Ainsi $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \epsilon.\int_{[c,x]} f$.

En réutilisant la divergence de l'intégrale, $lim_{x \mapsto b} \frac{\int_{[a,c]} |f-g|}{\int_{[c,x]} f}=0$ donc $\exists d \in [a,b[, \forall x \in [d,b[, \int_{[a,c]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[c,x]} f$.

Ce qui permet de transformer $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \epsilon.\int_{[c,x]} f$ en $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq 2\epsilon.\int_{[a,x]} f$ lorsque $x \geq sup\{c,d\}$.

Donc $ \int_{[a,x]} f-g = o_b( \int_{[a,x]} g)$ ce qui correspond à $\int_{[a,x]} f \sim_{x \mapsto b} \int_{[a,x]} g$.

Pour un préambule franchement ... C'est difficile non ?

NicoLeProf

Oui, je n'y arrive pas pour le moment pour le préambule. Je suis preneur d'une indication ! ^^'

LeVioloniste

1. C'est facile.
$f_0$ définie sur $]0;+\infty[-\{1\}$.
Sa fonction dérivée vérifie $f_0'(x)=-\frac{1}{x.(ln(x)^2}$.
Notons qu'on peut la prolonger en 0 par continuité. $D=[0,1[ \cup ]1;+\infty[$.
Ainsi la fx $f_0$ est décroissante sur les 2 intervalles $[0;1[$ et $]1;+\infty[$.

2a On a 2 possibilités $0<a<b<1$ ou $1<a<b$.
Au voisinage de 0 : $\sqrt(x) \times \frac{1}{ln(x)} \mapsto 0$ qd $x \mapsto 0$. Donc $\frac{1}{ln(x)} = o_0(\frac{1}{\sqrt{x}})$ et donc d'après les intégrales de Riemann, on a cvg.
Au voisinage de 1 : divergence car $\frac{1}{ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ qui diverge.

2b Il faut vérifier la cvg de l'intégrale en $+\infty$
Et on va utiliser le préambule. enfin non ... car on n'a pas d'équivalence entre la racine et le logarithme !
Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{ln(x)}  = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$.
Par le théorème d'intégration des relations , comme $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{\sqrt{x}}$ dvg alors $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{ln(x)}$ dvg pour $a>1$.

LeVioloniste

3a. En fait la technique est un peu une triche, on dérive la fonction équivalent proposée, on vérifie qu'elle est équivalente à l'intégrande au point considéré, puis on intègre. Ce serait plus dur si on nous demandait de trouver l'équivalent.
Pour $0<x<1$, $\frac{x}{\ln(x)}$ admet pour dérivée $\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$ donc $\frac{x}{\ln(x)}=\int_{[0,x]} \frac{\ln(t)-1}{\ln(t)^2} dt$.
On vérifie que $\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 0} \frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$, on applique le 1er préambule puisque ici on a convergence, et on vérifie aussi qu'on a même signe.
Et donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 0} \frac{x}{\ln(x)}$.

3b.
Ici c'est le cas divergent.
$\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ (ici sans tricher)
On intègre la relation de comparaison et
$\int_{[0,x]} \frac{1}{\ln(t)} dt  \sim_{x \mapsto 1^-} \int_{[0,x]} \frac{1}{t-1} dt$ donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 1^-} \ln|x-1|$.
D'ailleurs l'étude en $1^+$ est-elle nécessaire car pour moi l'énoncé est ambiguë ... On mentionne $0^+$ et pour $1$ on ne dit rien.

3c.
Les équivalents en 0 et 1 ont des limites finis et donc l'intégrale converge.

LeVioloniste

4a.
Une IPP (licite) s'impose ici : Si on pose $u=f_1(t)$ et $v'=1$, alors $f_2(x)= \int_{[0,x]} f_1(t) dt = [t.f_1(t)]_0^{x} - \int_{[0,x]} t.f_0(t) dt = x.f_1(x) - \int_{[0,x]} \frac{t}{\ln(t)} dt$.
Après il faut être malin, $[(\ln(\ln(t))]'=\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{\ln(t)}$, mais cela ne me donne rien, et je ne vois pas de primitive de $t.\frac{1}{\ln(t)}$.

Et la suite une autre fois.

NicoLeProf

LeVioloniste a dit :

Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{\ln(x)}  = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$.

ça c'est faux je crois : c'est le contraire (voir ce que j'ai écrit plus haut) et c'est le contraire qui permet de conclure quant à la divergence de l'intégrale.

Merci pour les autres questions notamment le préambule !

LeVioloniste

Oui tu as raison
$\ln(x)  = o_{+\infty}(\sqrt{x})$ alors
$\frac{1}{\sqrt{x}}  = o_{+\infty}(\frac{1}{\ln(x)})$

LeVioloniste

Bon qui m'aide pour la 4a ? L'IPP me semble être la seule piste !
Si on réintègre par parties on a une intégrale avec du $1/\ln(t)^2$ donc ça régresse.
Cela doit être qqch quelque chose de simple.

LeVioloniste

5a.

On repasse à la l'étude qd $x \mapsto 1$,

$\int_0^x \frac{1}{\ln(t)} dt =f_1(x)$

$\int_0^x \frac{1}{t-1} dt = \ln|x-1|$

Puis $\int_0^x \frac{1}{\ln(t)}-\frac{1}{t-1} dt = f_1(x) - \ln|x-1|$.

Donc $\lim_{x \mapsto 1}  f_1(x) - \ln|x-1| = 0$. D'où la cvg.

5b.
L'existence provient de la continuité des fonctions à intégrer et du fait que les problèmes en 0 et 1 ont déjà été traités en 2a.
On est dans les cas $(a,b)=(0,1-h)$ avec $h<1$ comme condition et $(a,b)=(1+h,2)$ qui sont des cas de convergences de l'intégrale.
$\int_0^{1-h} \frac{1}{\ln(t)} dt = f_1(1-h)$. Ceci admet une limite avec 3b.

$\int_{1+h}^{2} \frac{1}{\ln(t)} dt = \quad?$

$\frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h+o_0(h))}$ et $1/x$ est intégrable au voisinage de 0 donc la limite de l'expression existe.

Pour la valeur je cogite.

LeVioloniste

6a.
Pour une série alternée, le critère de convergence suffisant est que $u_n$ cvg vers 0 en décroissant.
Déjà pour $n=0$, $u_0=0$.
Pour $n \geq 1$, $u_n$ existe lorsque la borne supérieure $n^\beta$ est telle que $0<n^\beta<1$. Donc $\beta\ln(n)<0$  donc $\beta<0$ est une condition nécessaire.
J'ai un doute sur la question, les conditions sont plutôt sur $\alpha$ et $\beta$, parce que n est un entier naturel.
Si cette condition est vérifiée, $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt \sim_1 \ln(1-n^\beta) \sim_1 -n^\beta$.
La question de la convergence ne semble pas posée, juste la définition.
La condition est suffisante : si $\beta<0$ alors $0<n^\beta<1$ pour $n \geq 1$ puis l'intégrale $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt$ existe.

6b.
$u_n \sim -n^{\alpha+\beta}$.

agregagreg2

D'où viennent les exos postés ? La typo me dit quelque chose. (C'est la même source dans les autres fils ?)
J'ai juste survolé, pour la 4a, après IPP, forcer l'apparition du 1/t au numérateur ?