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Équivalents d'intégrales

Modifié (January 2023) dans Analyse
Voilà je vous propose un exo sur les équivalents, ça va faire de bonnes révisions.

Réponses

  • Bonnes révisions pour qui ?
  • Pour l'agrégation interne par exemple. Je commence ce soir.
    Des questions théoriques puis pratiques c'est dans l'esprit du concours.
  • Je n'ai pas cherché mais ça me plaît beaucoup.
  • Pour ceux qui préparent l'agreg j'imagine ! ^^'
    Préambule : pour le moment, je n'y arrive pas... Décidément, je suis beaucoup moins à l'aise en analyse.
    1ère partie :
    1. Pas de problème, question triviale. L'énoncé pourrait préciser que la fonction n'est pas définie en $1$ tout de même. Je ne suis pas fan de la formulation.
    2. a) Je dirais que cette intégrale est définie pour tout $a \in [0;b[$ et pour tout $b<1$ . En effet, en $0$ , $|\dfrac{1}{\ln x}|=o(\dfrac{1}{\sqrt x})$ et $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{\sqrt x} \,  \mathrm{d}x$ converge (intégrale de Riemann) .
    Par contre, en $1$ , $\dfrac{1}{\ln x} \sim \dfrac{1}{x-1}$ et $\displaystyle \int_{0,5}^{1} \dfrac{1}{x-1} \,  \mathrm{d}x$ diverge. Donc il y a divergence en $1$ donc $b<1$ .
    b) Déjà, $a>1$ car il y a divergence en $1$ . Ensuite, en $+\infty$, $\dfrac{1}{\sqrt x}=o \left (\dfrac{1}{\ln x} \right)$ et $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt x} \,  \mathrm{d}x$ est divergente (intégrale de Riemann) donc $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\ln x} \,  \mathrm{d}x$ diverge et on conclut que l'intégrale de cette question n'est pas définie...
    3. a) Un calcul rapide montre que $f_0(x) \sim \dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$ en $0^+$ (expression de droite obtenue en dérivant $x \longmapsto \dfrac{x}{\ln x}$). De plus, on sait que pour $x<1$, $\displaystyle \int_{0}^{x} f_0(t) \,  \mathrm{d}t$ converge . Donc d'après le premier point du préambule, on a le résultat voulu.
    b) On rappelle qu'en $1$ , $\dfrac{1}{\ln x} \sim \dfrac{1}{x-1}$ . De plus, on a vu qu'il y a divergence de l'intégrale de $f_0(t)$ en $1$. Donc on a le résultat voulu grâce au deuxième point du préambule. (Oui, ici , je rédige "à l'arrache" : promis, je m'appliquerai lors du concours ! ^^' :);):D )
    c) L'équivalent de 3). a) nous permet de conclure qu'il y a (absolue) convergence de $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} f_1(t) \,  \mathrm{d}t$ car $|\dfrac{x}{\ln x}|= o \left(\dfrac{1}{\sqrt x} \right)$ en $0$.
    L'équivalent de 3. b) nous permet de conclure qu'il y a convergence de $\displaystyle \int_{0,5}^{1} f_1(t) \,  \mathrm{d}t$ en étudiant les primitives de $x \longmapsto \ln(x-1)$ et $x \longmapsto \ln(1-x)$ qui se prolongent par continuité en $1$ .
    Donc cette intégrale est convergente.
  • Modifié (January 2023)
    Préambule.
    Déjà le préambule dit que $\int_{[a,b]} f$ et $\int_{[a,b]} g$ sont de mêmes natures si $f$ et $g$ sont positives.
    i/ Mq $\int_{[a,b]} f$ cvg alors $\int_{[x,b]} g \sim_{x \mapsto b} \int_{[x,b]} f$ sachant que $g(x) \sim_{x \mapsto b} f(x)$.
    Si $f(x) \sim_{x \mapsto b} g(x)$ alors $f-g=o_b(f)$, avec $o$ relation de négligeabiblité.
    Cette relation s'écrit $\forall \epsilon > 0$, $\exists c \in [a,b[$, $\forall x \in [c,b[, |f(x)-g(x)| \leq \epsilon.|f(x)| = \epsilon.f(x)$.
    J'ai choisi $f$ dans le $o$ pour faire sauter la valeur absolue.
    Après une écriture plus générale consiste à parler de voisinage autour de b, mais bon ici, pas nécessaire.
    comme $\int_{[a,b]} f$ cvg, $ \int_{[x,b]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[x,b]} f$. Or $ \int_{[x,b]} f-g \leq \int_{[x,b]} |f-g|$.
    Donc $ \int_{[x,b]} f-g \leq \epsilon.\int_{[x,b]} f$.
    Ce qui  est exactement $\int_{[x,b]} f - \int_{[x,b]} g = o_b(\int_{[x,b]} f)$.
    Et ceci est $\int_{[x,b]} f \sim_{x \mapsto b} \int_{[x,b]} g$. 
    ii/ Mq $\int_{[a,b]} f$ dvg alors $\int_{[a,x]} g \sim_{x \mapsto b} \int_{[a,x]} f$ sachant que $g(x) \sim_{x \mapsto b} f(x)$.
    La on a une divergence de 1ere espèce cad $\int_{[a,b]} f = +\infty$ ou $-\infty$.
    $\forall \epsilon > 0$, $\exists c \in [a,b[$, $\forall x \in [c,b[, |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,x]} |f-g| \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \int_{[c,x]} |f-g|$.
    Or $\forall \epsilon > 0$, $\exists c \in [a,b[$, $\forall x \in [c,b[, |f(x)-g(x)| \leq \epsilon.|f(x)| = \epsilon.f(x)$ donne $\int_{[c,x]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[c,x]} f$.
    Ainsi $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \epsilon.\int_{[c,x]} f$.
    En réutilisant la divergence de l'intégrale, $lim_{x \mapsto b} \frac{\int_{[a,c]} |f-g|}{\int_{[c,x]} f}=0$ donc $\exists d \in [a,b[, \forall x \in [d,b[, \int_{[a,c]} |f-g| \leq \epsilon.\int_{[c,x]} f$.
    Ce qui permet de transformer $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq \int_{[a,c]} |f-g| + \epsilon.\int_{[c,x]} f$ en $ |\int_{[a,x]} f-g | \leq 2\epsilon.\int_{[a,x]} f$ lorsque $x \geq sup\{c,d\}$.
    Donc $ \int_{[a,x]} f-g = o_b( \int_{[a,x]} g)$ ce qui correspond à $\int_{[a,x]} f \sim_{x \mapsto b} \int_{[a,x]} g$.
    Pour un préambule franchement ... C'est difficile non ?
  • Oui, je n'y arrive pas pour le moment pour le préambule. Je suis preneur d'une indication ! ^^'
  • Modifié (January 2023)
    1. C'est facile.
    $f_0$ définie sur $]0;+\infty[-\{1\}$.
    Sa fonction dérivée vérifie $f_0'(x)=-\frac{1}{x.(ln(x)^2}$.
    Notons qu'on peut la prolonger en 0 par continuité. $D=[0,1[ \cup ]1;+\infty[$.
    Ainsi la fx $f_0$ est décroissante sur les 2 intervalles $[0;1[$ et $]1;+\infty[$.
    2a On a 2 possibilités $0<a<b<1$ ou $1<a<b$.
    Au voisinage de 0 : $\sqrt(x) \times \frac{1}{ln(x)} \mapsto 0$ qd $x \mapsto 0$. Donc $\frac{1}{ln(x)} = o_0(\frac{1}{\sqrt{x}})$ et donc d'après les intégrales de Riemann, on a cvg.
    Au voisinage de 1 : divergence car $\frac{1}{ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ qui diverge.
    2b Il faut vérifier la cvg de l'intégrale en $+\infty$
    Et on va utiliser le préambule. enfin non ... car on n'a pas d'équivalence entre la racine et le logarithme !
    Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{ln(x)}  = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$.
    Par le théorème d'intégration des relations , comme $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{\sqrt{x}}$ dvg alors $\int_{[a,+\infty[} \frac{1}{ln(x)}$ dvg pour $a>1$.
  • Modifié (January 2023)
    3a. En fait la technique est un peu une triche, on dérive la fonction équivalent proposée, on vérifie qu'elle est équivalente à l'intégrande au point considéré, puis on intègre. Ce serait plus dur si on nous demandait de trouver l'équivalent.
    Pour $0<x<1$, $\frac{x}{\ln(x)}$ admet pour dérivée $\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$ donc $\frac{x}{\ln(x)}=\int_{[0,x]} \frac{\ln(t)-1}{\ln(t)^2} dt$.
    On vérifie que $\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 0} \frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$, on applique le 1er préambule puisque ici on a convergence, et on vérifie aussi qu'on a même signe.
    Et donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 0} \frac{x}{\ln(x)}$.
    3b.
    Ici c'est le cas divergent.
    $\frac{1}{\ln(x)} \sim_{x \mapsto 1} \frac{1}{x-1}$ (ici sans tricher)
    On intègre la relation de comparaison et
    $\int_{[0,x]} \frac{1}{\ln(t)} dt  \sim_{x \mapsto 1^-} \int_{[0,x]} \frac{1}{t-1} dt$ donc $f_1(x) \sim_{x \mapsto 1^-} \ln|x-1|$.
    D'ailleurs l'étude en $1^+$ est-elle nécessaire car pour moi l'énoncé est ambiguë ... On mentionne $0^+$ et pour $1$ on ne dit rien.
    3c.
    Les équivalents en 0 et 1 ont des limites finis et donc l'intégrale converge.
  • Modifié (January 2023)
    4a.
    Une IPP (licite) s'impose ici : Si on pose $u=f_1(t)$ et $v'=1$, alors $f_2(x)= \int_{[0,x]} f_1(t) dt = [t.f_1(t)]_0^{x} - \int_{[0,x]} t.f_0(t) dt = x.f_1(x) - \int_{[0,x]} \frac{t}{\ln(t)} dt$.
    Après il faut être malin, $[(\ln(\ln(t))]'=\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{\ln(t)}$, mais cela ne me donne rien, et je ne vois pas de primitive de $t.\frac{1}{\ln(t)}$.
    Et la suite une autre fois.
  • Modifié (January 2023)
    LeVioloniste a dit :
    Par le théorème des croissances comparées, $\frac{1}{\ln(x)}  = o_{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}})$.
    ça c'est faux je crois : c'est le contraire (voir ce que j'ai écrit plus haut) et c'est le contraire qui permet de conclure quant à la divergence de l'intégrale.
    Merci pour les autres questions notamment le préambule ! :)
  • Modifié (January 2023)
    Oui tu as raison :smile:
    $\ln(x)  = o_{+\infty}(\sqrt{x})$ alors
    $\frac{1}{\sqrt{x}}  = o_{+\infty}(\frac{1}{\ln(x)})$
  • Modifié (January 2023)
    Bon qui m'aide pour la 4a ? L'IPP me semble être la seule piste !
    Si on réintègre par parties on a une intégrale avec du $1/\ln(t)^2$ donc ça régresse.
    Cela doit être qqch quelque chose de simple.
  • Modifié (January 2023)
    5a.
    On repasse à la l'étude qd $x \mapsto 1$,
    $\int_0^x \frac{1}{\ln(t)} dt =f_1(x)$
    $\int_0^x \frac{1}{t-1} dt = \ln|x-1|$
    Puis $\int_0^x \frac{1}{\ln(t)}-\frac{1}{t-1} dt = f_1(x) - \ln|x-1|$.
    Donc $\lim_{x \mapsto 1}  f_1(x) - \ln|x-1| = 0$. D'où la cvg.
    5b.
    L'existence provient de la continuité des fonctions à intégrer et du fait que les problèmes en 0 et 1 ont déjà été traités en 2a.
    On est dans les cas $(a,b)=(0,1-h)$ avec $h<1$ comme condition et $(a,b)=(1+h,2)$ qui sont des cas de convergences de l'intégrale.
    $\int_0^{1-h} \frac{1}{\ln(t)} dt = f_1(1-h)$. Ceci admet une limite avec 3b.
    $\int_{1+h}^{2} \frac{1}{\ln(t)} dt = \quad?$
    $\frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h+o_0(h))}$ et $1/x$ est intégrable au voisinage de 0 donc la limite de l'expression existe.
    Pour la valeur je cogite.
  • Modifié (January 2023)
    6a.
    Pour une série alternée, le critère de convergence suffisant est que $u_n$ cvg vers 0 en décroissant.
    Déjà pour $n=0$, $u_0=0$.
    Pour $n \geq 1$, $u_n$ existe lorsque la borne supérieure $n^\beta$ est telle que $0<n^\beta<1$. Donc $\beta\ln(n)<0$  donc $\beta<0$ est une condition nécessaire.
    J'ai un doute sur la question, les conditions sont plutôt sur $\alpha$ et $\beta$, parce que n est un entier naturel.
    Si cette condition est vérifiée, $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt \sim_1 \ln(1-n^\beta) \sim_1 -n^\beta$.
    La question de la convergence ne semble pas posée, juste la définition.
    La condition est suffisante : si $\beta<0$ alors $0<n^\beta<1$ pour $n \geq 1$ puis l'intégrale $\int_0^{n^\beta} f_0(t) dt$ existe.
    6b.
    $u_n \sim -n^{\alpha+\beta}$.
  • Modifié (January 2023)
    D'où viennent les exos postés ? La typo me dit quelque chose. (C'est la même source dans les autres fils ?)
    J'ai juste survolé, pour la 4a, après IPP, forcer l'apparition du 1/t au numérateur ? 
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